Question

【題目】定義：如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn)．如矩形OBCD中，點(diǎn)C為O，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn),已知OD＝4,在DC上取點(diǎn)E,DE=8．

（1）如果點(diǎn)E是O，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)（點(diǎn)E不在點(diǎn)C）, 試求OB的長(zhǎng)；

（2）如果OB=12，分別以OB,OD為坐標(biāo)軸建立如圖2的直角坐標(biāo)系，在x軸上取點(diǎn)F(5，0)．在線段DC上取點(diǎn)P, 過點(diǎn)P的直線l∥y軸，交x軸于點(diǎn)Q．設(shè)DP=t．

①當(dāng)點(diǎn)P在DE之間，以EF為直徑的圓與直線l相切，試求t的值；

②當(dāng)直線l上恰好有2點(diǎn)是E，F兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)時(shí)，試求相應(yīng)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）①4；②0＜t＜4或t=5或t=8或9＜t≤12

【解析】

（1）連接OE、BE．設(shè)OB=x，則EC=x-8．先依據(jù)勾股定理表示出OE2、BE2的值，再依據(jù)勾股定理的逆定理列方程求解即可；
（2）①過點(diǎn)F作FG⊥DC，垂足為G，過點(diǎn)M作MN∥DE．在△EFG中依據(jù)勾股定理求得EF的長(zhǎng)，從而可求得MH的長(zhǎng)，由梯形的中位線定理可求得MN的長(zhǎng)，然后依據(jù)NH=NM-MH可求得NH的長(zhǎng)，從而求得t的值；
②當(dāng)直線l與圓M相離或直線l經(jīng)過點(diǎn)E或直線l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，直線l上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)是E、F兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．

解：（1）如圖1所示，連接OE、BE．

設(shè)OB=x，則EC=x-8．
在△DOE中，OE2=DE2+OD2=42+82=80，BE2=CE2+CB2=42+（x-8）2．
∵E為點(diǎn)O和點(diǎn)B的勾股定理點(diǎn)，
∴OB2=OE2+BE2，即42+（x-8）2+80=x2．
解得：x=10．
∴OB=10．
（2）①過點(diǎn)F作FG⊥DC，垂足為G，過點(diǎn)M作MN∥DE．

∵DE=8，OF=5，DO=4，
∴GE=3，FG=4，MN=6.5．
∴EF==5．
∴MH=2.5．
∴HN=NM-MH=6.5-2.5=4．
∴t=4．
②如圖3所示：當(dāng)直線l與圓M相離時(shí)．過點(diǎn)E作EG⊥EF交PQ于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作HF⊥EF，垂足為H．

∵∠GEF=90°，
∴△GEF為直角三角形．
∴G是E、F的一個(gè)勾股點(diǎn)．
同理點(diǎn)H也是E、F的一個(gè)勾股點(diǎn)．
∴當(dāng)直線l與圓M相離時(shí)，直線l上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)是E、F兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．
∴當(dāng)0＜t＜4時(shí)，直線l上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)是E、F兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．
同理：當(dāng)直線l在圓M的右側(cè)，直線l上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)是E、F兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．
∴9＜t≤12．
如圖4所示：當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，直線l上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)是E、F兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．

∵OF=5，
∴t=5．
如圖5所示：當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，直線l上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)是E、F兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．

∵DE=8，
∴t=8．
綜上所述當(dāng)0＜t＜4或t=5或t=8或9＜t≤12時(shí)，直線l上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)是E、F兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．