Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分別是中線和角平分線，當(dāng)∠A=

15或75

°時，△CDE是等腰三角形．

Answer 1

分析：畫出符合條件的兩種情況，第一種情況：由直角三角形斜邊中線定理可以知道△BCD是等腰三角形，△CDE要是等腰三角形只有一種情況，即CE=DE，∠DCE=∠CDE，由外角定理可以知道∠CDE=∠B+∠BCD=2∠BCD，又因為∠CDE=∠DCE，且∠DCE+∠BCD=45°，所以3∠BCD=3∠B=45°，∠B=15°，∠A=90°-∠B=75°，當(dāng)A在B點位置時，∠A=15°．

解答：解：如圖1，

∵CD是直角三角形ACB斜邊上的中線，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BCD，
∴∠EDC=∠B+∠BCD=2∠B，
要使△CED是等腰三角形，只能是CE=DE，
即∠ECD=∠EDC=2∠B，
∵CE平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ECB=45°，
即∠ECD+∠DCB=45°，
∴3∠B=45°，
∴∠B=15°，
∴∠A=90°-15°=75°；
如圖2，

同法求出∠A=15°，
即當(dāng)∠A=15°或75°時，△CDE是等腰三角形，
故答案為：15或75．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用性質(zhì)進行推理的能力．