Question

如圖，一次函數(shù)y=-x+b與反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象相交于A（-1，4）、B（4，-1）兩點(diǎn)，直線l⊥x軸于點(diǎn)E（-4，0），與反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象分別相交于點(diǎn)C、D，連接AC、BC
（1）求出b和k；
（2）求證：△ACD是等腰直角三角形；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使S_△PBC=S_△ABC？若存在，請(qǐng)求出P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入到兩個(gè)函數(shù)的解析式即可求得k和b的值；
（2））根據(jù)直線x=-4與一次函數(shù)y=-x+3交于點(diǎn)D，求得點(diǎn)D（-4，7），根據(jù)直線x=-4與反比例函數(shù)y=-

4

x

交于點(diǎn)C確定點(diǎn)C（-4，1），從而確定AD=AC，然后根據(jù)勾股定理的逆定理確定△ACD是直角三角形，從而確定△ACD是等腰直角三角形；
（3）過(guò)點(diǎn)A作AP₁∥BC，交y軸于P₁，則S_△PBC=S_△ABC，根據(jù)B（4，-1），C（-4，1）確定直線BC的解析式為y=-

1

4

x，然后設(shè)直線AP₁的解析式為y=-

1

4

x+b₁，把A（-1，4）代入可求b₁=

15

4

，求得P₁（0，

15

4

），作P₁關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P₂，利用S△P1BC=S△P2BC_BC=S_△ABC，確定P₂（0，-

15

4

）；

解答：（1）解：∵一次函數(shù)y=-x+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，4）
∴-（-1）+b=4，
 即b=3，
又∵反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，4）
∴k=xy=（-1）×4=-4；

（2）證明：∵直線l⊥x軸于點(diǎn)E（-4，0）則直線l解析式為x=-4，
∴直線x=-4與一次函數(shù)y=-x+3交于點(diǎn)D，則D（-4，7）
直線x=-4與反比例函數(shù)y=-

4

x

交于點(diǎn)C，
則C（-4，1）
過(guò)點(diǎn)A作AF⊥直線l于點(diǎn)F，
∵A（-1，4），C（-4，1），D（-4，7）
∴CD=6，AF=3，DF=3，F(xiàn)C=3
又∵∠AFD=∠AFC=90°，
由勾股定理得：AC=AD=3

2

又∵AD²+AC²=(3

2

)2+(3

2

)2=36
CD²=6²=36
∴AD²+AC²=CD²
∴由勾股定理逆定理得：△ACD是直角三角形，
又∵AD=AC
∴△ACD是等腰直角三角形；

（3）解：過(guò)點(diǎn)A作AP₁∥BC，交y軸于P₁，則S_△PBC=S_△ABC
∵B（4，-1），C（-4，1）
∴直線BC的解析式為y=-

1

4

x              
∵設(shè)直線AP₁的解析式為y=-

1

4

x+b₁，把A（-1，4）代入可求b₁=

15

4

，
∴P₁（0，

15

4

），
∴作P₁關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P₂，則S△P1BC=S△P2BC_BC=S_△ABC，
故P₂（0，-

15

4

）；
即存在P₁（0，

15

4

），P₂（0，-

15

4

）；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，三角形的面積，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，用了數(shù)形結(jié)合思想．