Question

長為30，寬為a的矩形紙片（15＜a＜30），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．當(dāng)n=3時(shí)，a的值為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)操作步驟，可知每一次操作時(shí)所得正方形的邊長都等于原矩形的寬．所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬．當(dāng)15＜a＜30時(shí)，矩形的長為30，寬為a，所以第一次操作時(shí)所得正方形的邊長為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為30-a，a．由30-a＜a可知，第二次操作時(shí)所得正方形的邊長為30-a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為30-a，a-（30-a）=2a-30．由于（30-a）-（2a-30）=60-3a，所以（30-a）與（2a-30）的大小關(guān)系不能確定，需要分情況進(jìn)行討論．又因?yàn)榭梢赃M(jìn)行三次操作，故分兩種情況：①30-a＞2a-30；②30-a＜2a-30．對于每一種情況，分別求出操作后剩下的矩形的兩邊，根據(jù)剩下的矩形為正方形，列出方程，求出a的值．

解答：解：由題意，可知當(dāng)15＜a＜30時(shí)，第一次操作后剩下的矩形的長為a，寬為30-a，所以第二次操作時(shí)正方形的邊長為30-a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為30-a，2a-30．此時(shí)，分兩種情況：
①如果30-a＞2a-30，即a＜20，那么第三次操作時(shí)正方形的邊長為2a-30．
∵經(jīng)過第三次操作后所得的矩形是正方形，
∴矩形的寬等于30-a，
即2a-30=（30-a）-（2a-30），解得a=18；
②如果30-a＜2a-30，即a＞20，那么第三次操作時(shí)正方形的邊長為30-a．
則30-a=（2a-30）-（30-a），解得a=22.5．
故答案為：18或22.5．

點(diǎn)評：此題考查了折疊的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用，注意折疊中的對應(yīng)關(guān)系．