Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0），與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）若P為線段BD上的一個動點，過點P作PM⊥x軸于點M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)點A、B的坐標設拋物線交點式解析式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把點C的坐標代入求出a的值即可得解；再把函數(shù)解析式整理成頂點式形式，然后寫出頂點D的坐標；
（2）設直線BD的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y=-2x+6，然后設點P的坐標為（p，-2p+6）再根據(jù)四邊形PMAC的面積等于△AOC和梯形COMP的面積之和列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0），
∴可設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
又∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，3），
∴3=a（0+1）（0-3），
解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3），
即y=-x²+2x+3，
∴拋物線頂點D的坐標為（1，4）；

（2）設直線BD的解析式為y=kx+b，
由B（3，0），D（1，4）得

3k+b=0 k+b=4

，
解得

k=-2 b=6

，
∴直線BD的解析式為y=-2x+6，
∵點P在直線PD上，
∴設P（p，-2p+6），
則OA=1，OC=3，OM=p，PM=-2p+6，
四邊形PMAC的面積=

1

2

×1×3+

1

2

×（-2p+6+3）×p，
=-p²+

9

2

p+

3

2

，
=-（p-

9

4

）²+

105

16

，
∵1＜

9

4

＜3，
∴當p=

9

4

時，四邊形PMAC的面積取得最大值為

105

16

，
此時，-2p+6=-2×

9

4

+6=

3

2

，
點P的坐標為（

9

4

，

3

2

）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，不規(guī)則四邊形的面積的求解，二次函數(shù)的最值問題，（1）利用二次函數(shù)交點式形式求解更簡便，（2）把不規(guī)則四邊形的面積分成三角形和梯形兩個部分求解是解題的關鍵．