Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，點E在BC邊上，點F在BC延長線上，且∠CDF =∠BAE．

（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】分析：(1)直接利用矩形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出BE=CF，進(jìn)而得出答案；

(2)利用勾股定理的逆定理得出∠EDF=90 ，進(jìn)而得出ED·DF=EF·CD，求出答案即可.

詳解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD, ∠B=∠DCF=90．

∵，

∴△ABE≌△DCF．

∴BE=CF，

∴BC=EF．

∵BC=AD, ∴EF=AD．又∵EF∥AD，

∴四邊形AEFD是平行四邊形．

（2）解：由（1）知，EF=AD= 5．

在△EFD中，DF=3，DE=4，EF=5，

∴．

∴∠EDF=90．

∴EDDF=EFCD，

∴CD=．