Question

【題目】如圖，CE是⊙O的直徑，BD切⊙O于點D，DE∥BO，CE的延長線交BD于點A．

（1）求證：直線BC是⊙O的切線；

（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3．

【解析】

（1）連接OD，根據(jù)DE∥BO，得到∠1=∠4，∠2=∠3，通過 △DOB≌△COB，得到∠OCB=∠ODB，即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)三角函數(shù)tan∠DEO=tan∠2=，設OC=r，則BD=BC=，由切割線定理得到AD=，再由平行線分線段成比例得到比例式即可求得結(jié)果．

解：（1）連接OD，∵DE∥BO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OE，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，在△DOB與△COB中，∵OD=OC，∠1=∠2，OB=OB，∴△DOB≌△COB，∴∠OCB=∠ODB，∵BD切⊙O于點D，∴∠ODB=90°，∴∠OCB=90°，∴AC⊥BC，∴直線BC是⊙O的切線；

（2）∵∠DEO=∠2，∴tan∠DEO=tan∠2=，設OC=r，則BC=，由（1）證得△DOB≌△COB，∴BD=BC=，由切割線定理得：=2（2+r），∴AD=，∵DE∥BO，∴，∴，∴r=1，∴AO=3．