Question

如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F分別是OA、OB的中點．
（1）求證：△ADE≌△BCF；
（2）若AD=4cm，AB=8cm，求OF的長．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明AD=BC；證明四邊形ABCD內(nèi)接于圓，得到∠DAC=∠CBD；證明AE=BF，即可解決問題．
（2）由勾股定理求出BD=4

5

cm，根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可解決問題．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AC=BD；∠DAB+∠DCB=180°，
∴四邊形ABCD內(nèi)接于圓，
∴∠DAC=∠CBD；
∵OA=OB，且E、F分別為OA、OB的中點，
∴AE=BF；
在△ADE與△BCF中，

AD=BC ∠DAE=∠CBF AE=BF

，
∴△ADE≌△BCF（SAS）．
（2）由勾股定理得：BD²=AD²+AB²，
∵AD=4cm，AB=8cm，
∴BD=4

5

（cm），
∵點F為OB的中點，
∴OF=

1

4

×4

5

=

5

（cm）．

點評：該題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．