Question

如圖，AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，OB交⊙O于點(diǎn)C，且C為OB的中點(diǎn)，過C點(diǎn)作弦CD，若∠ACD=45°，AD=2．求AC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：連結(jié)OA，OD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OAB=90°，由于C為OB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得AC=OC=CA，再利用圓周角定理得∠AOD=2∠ACD=90°，則△ODA為等腰直角三角形，所以O(shè)D=

2

2

AD=

2

，則AC=

2

．

解答：解：連結(jié)OA，OD，如圖，
∵AB是⊙O的切線，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵C為OB的中點(diǎn)，
∴AC=OC=CA，
∵∠ACD=45°，
∴∠AOD=2∠ACD=90°，
∴△ODA為等腰直角三角形，
∴OD=

2

2

AD=

2

2

×2=

2

，
∴AC=

2

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．