Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，AP平分∠BAD，CD=CP，AP⊥CP．
（1）求證：AD=AP；
（2）若AB=5，AD=12，求△PBD的面積．

Answer 1

（1）證明：∵CD=CP，
∴∠CDP=∠CPD，
∵四邊形ABCD是矩形，AP⊥CP，
∴∠ADC=∠APC=90°，
∴∠CDP+∠ADP=∠APD+∠CPD，
∴∠APD=∠ADP，
∴AD=AP；

（2）解：連接BD，過點P作PE∥BC交AB的延長線于E，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠E=90°，PE∥AD，
∴四邊形ADPE是梯形，
∵AP平分∠BAD，
∴∠EAP=∠BAD=45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∵AD=12，
∴AP=12，
∴AE=PE=6，
∴BE=AE-AB=6-5，
∴S_△PBD=S_梯形ADPE-S_△ABD-S_△PBE=×（6+12）×6-×5×12-×（6-5）×6=51-30．
分析：（1）由CD=CP，根據(jù)等邊對等角，可得∠CDP=∠CPD，又由四邊形ABCD是矩形，AP⊥CP，可證得∠APD=∠ADP，根據(jù)等角對等邊，即可證得AD=AP；
（2）首先連接BD，過點P作PE∥BC交AB的延長線于E，由四邊形ABCD是矩形，AP平分∠BAD，即可得△AEF是等腰直角三角形，即可求得PE與AE的長，然后由S_△PBD=S_梯形ADPE-S_△ABD-S_△PBE，求得答案．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．