Question

如圖，△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm．點P從點B以1cm/s的速度向點C運動，點Q從點C以2cm/s的速度向點A運動，兩點同時出發(fā)，運動的時間為t秒（0≤t≤5）．過點Q作直線QD∥BC，交AB于點D，連接PD、PQ．
（1）用含有t的代數式表示DQ的長；
（2）是否存在某一時刻t，使得△DPQ為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（3）以線段PC為直徑作⊙O．
①在運動過程中，求當動點Q在⊙O內部時t的取值范圍；
②連接OD，交線段PQ于點E，求點E恰好落在⊙O上時t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為QD∥BC，所以可以利用△ADQ∽△ABC的線段比例關系表示出DQ的長．
（2）利用三角形相似求出DB，DP的長，利用勾股定理建立等量關系求出其解．
（3）利用三角形相似求出PQ的長，在直角三角形PQC中利用勾股定理建立等量關系求出t的值以及在△BOD中利用勾股定理建立關系求出其解．
解答：解：（1）當運動t秒時，QC=2t
在Rt△ABC中，AB=8cm，BC=6cm，
由勾股定理得：AC²=8²+6²
解得AC=10cm
∴AQ=10-2t
∵QD∥BC
∴△ADQ∽△ABC
∴
∴
∴DQ=；

（2）作QE⊥BC于E
可得△CQE∽△CAB
∴
∴
∴QE=
∴
∵△DPQ為直角三角形即，∠DPQ=90°或∠DQP=90°，
當∠DPQ=90°時，
∴∠PDQ+PQD=90°
∵∠PDB+∠PDQ=90°
∴∠PQD=∠PDB
∴△PDB∽△DQP
∴
∴
∴DP²=
在Rt△BPD中，由勾股定理得
BP²+BD²=DP²
∴
解得：t₁=，t₂=0（舍去）；
當∠DQP=90°時，P與E重合，
設運動的時間是t，則BE=t，CE=6-t，
CQ=2t，
∵△CQE∽△CAB，
∴=，解得：t=，
綜上，t=或；


（3）①當運動t秒后⊙O與AC相交于Q點，
∴∠PQC=90°
∴△PQC∽△ABC
∴
∴
∴PQ=由勾股定理得；

∴
∴當0＜t＜時，點Q在⊙O內部．

②當線段DO交PQ于點E且點E恰好落在⊙O上時．
△DQE∽△OPE
∴
∴
∴
∴
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
BD²+BO²=DO²
∴
解得：．
∴當線段DO交PQ于點E且點E恰好落在⊙O上時，t=．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理的運用以及點和圓的位置關系，動點問題與直角三角形和相似三角形的關系．本題難度較大．