Question

將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G（如圖）．
（1）如果正方形邊長為2，M為CD邊中點(diǎn)．求EM的長．
（2）如果M為CD邊的中點(diǎn)，求證：DE：DM：EM=3：4：5；
（3）如果M為CD邊上的任意一點(diǎn)，設(shè)AB=2a，問△CMG的周長是否與點(diǎn)M的位置有關(guān)？若有關(guān)，請(qǐng)把△CMG的周長用含DM的長x的代數(shù)式表示；若無關(guān)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)DE為x，則根據(jù)折疊知道DM=1，EM=EA=2-x，然后在Rt△DEM中就可以求出x，繼而求出EM的長；
（2）由（1）可得出DE，DN，EM的長，從而求出它們的比值；
（3）△CMG的周長與點(diǎn)M的位置無關(guān)．設(shè)DM=x，DE=y，則CM=2a-x，EM=2a-y，然后利用正方形的性質(zhì)和折疊可以證明△DEM∽△CMG，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可以把CG，MG分別用x，y分別表示，△CMG的周長也用x，y表示，然后在Rt△DEM中根據(jù)勾股定理可以得到4a²-x²=4ay，結(jié)合△CMG的周長，就可以判斷△CMG的周長與點(diǎn)M的位置無關(guān)．

解答：證明：（1）DE為x，則DM=1，EM=EA=2-x，
在Rt△DEM中，∠D=90°，
∴DE²+DM²=EM²
x²+1²=（2-x）²
x=

3

4

，
∴EM=

5

4

．

（2）設(shè)正方形的邊長為2，由（1）知，DE=

3

4

，DM=1，EM=

5

4

∴DE：DM：EM=3：4：5；

（3）△CMG的周長與點(diǎn)M的位置無關(guān)．
證明：設(shè)DM=x，DE=y，則CM=2a-x，EM=2a-y，
∵∠EMG=90°，
∴∠DME+∠CMG=90°．
∵∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠CMG，
又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，
∴

CG

DM

=

CM

DE

=

MG

EM

即

CG

x

=

2a-x

y

=

MG

2a-y

，
∴CG=

x(2a-x)

y

，MG=

(2a-x)(2a-y)

y

，
△CMG的周長為CM+CG+MG=

4a2-x2

y

在Rt△DEM中，DM²+DE²=EM²
即x²+y²=（2a-y）²
整理得4a²-x²=4ay，
∴CM+MG+CG=

4ay

y

=4a．
所以△CMG，的周長為4a，與點(diǎn)M的位置無關(guān)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查翻折變換及正方形的性質(zhì)，正方形的有些題目有時(shí)用代數(shù)的計(jì)算證明比用幾何方法簡(jiǎn)單，甚至幾何方法不能解決的用代數(shù)方法可以解決．本題綜合考查了相似三角形的應(yīng)用和正方形性質(zhì)的應(yīng)用．