Question

將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點G（如圖）．
（1）如果M為CD邊的中點，求證：DE：DM：EM=3：4：5；
（2）如果M為CD邊上的任意一點，設AB=2a，問△CMG的周長是否有與點M的位置關系？若有關，請把△CMG的周長用含CM的長x的代數式表示；若無關，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）正方形的證明題有時用計算方法證明比幾何方法簡單，此題設正方形邊長為a，DE為x，則根據折疊知道DM=

a

2

，EM=EA=a-x，然后在Rt△DEM中就可以求出x，這樣DE，DN，EM就都用a表示了，就可以求出它們的比值了；
（2）△CMG的周長與點M的位置無關．設CM=x，DE=y，則DM=2a-x，EM=2a-y，然后利用正方形的性質和折疊可以證明△DEM∽△CMG，利用相似三角形的對應邊成比例可以把CG，MG分別用x，y分別表示，△CMG的周長也用x，y表示，然后在Rt△DEM中根據勾股定理可以得到4ax-x²=4ay，結合△CMG的周長，就可以判斷△CMG的周長與點M的位置無關．

解答：（1）證明：設正方形邊長為a，DE為x，則DM=

a

2

，EM=EA=a-x
在Rt△DEM中，∠D=90°，
∴DE²+DM²=EM²
x²+（

a

2

）²=（a-x）²
x=

3a

8

EM=

5a

8

DE：DM：EM=3：4：5；

（2）解：△CMG的周長與點M的位置無關．
證明：設CM=x，DE=y，則DM=2a-x，EM=2a-y，
∵∠EMG=90°，
∴∠DME+∠CMG=90度．
∵∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠CMG，
又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，
∴

CG

DM

=

CM

DE

=

MG

EM

即

CG

2a-x

=

x

y

=

MG

2a-y

∴CG=

x(2a-x)

y

，MG=

x(2a-y)

y

△CMG的周長為CM+CG+MG=

4ax-x2

y

在Rt△DEM中，DM²+DE²=EM²
即（2a-x）²+y²=（2a-y）²
整理得4ax-x²=4ay
∴CM+MG+CG=

4ax-x2

y

=

4ay

y

=4a．
所以△CMG的周長為4a，與點M的位置無關．

點評：正方形的有些題目有時用代數的計算證明比用幾何方法簡單，甚至幾何方法不能解決的用代數方法可以解決．本題綜合考查了相似三角形的應用和正方形性質的應用．