Question

小杰和他的同學組成了“愛琢磨”學習小組，有一次，他們碰到這樣一道題：
“已知正方形ABCD，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，則EG=FH“
經(jīng)過思考，大家給出了以下兩個方案：
（甲）過點A作AM∥HF交BC于點M，過點B作BN∥EG交CD于點N；
（乙）過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N；
小杰和他的同學順利的解決了該題后，大家琢磨著想改變問題的條件，作更多的探索．
…
（1）對小杰遇到的問題，請在甲、乙兩個方案中任選一個，加以證明（如圖1）；

（2）如果把條件中的“正方形”改為“長方形”，并設AB=2，BC=3（如圖2），試探究EG、FH之間有怎樣的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；
（3）如果把條件中的“EG⊥FH”改為“EG與FH的夾角為45°”，并假設正方形ABCD的邊長為1，F(xiàn)H的長為

5

2

（如圖3），試求EG的長度．

Answer 1

分析：（1）無論選甲還是選乙都是通過構(gòu)建全等三角形來求解．甲中，通過證△AMB≌△BNC來得出所求的結(jié)論．乙中，通過證△AMB≌△ADN來得出結(jié)論；
（2）同（1）一樣，只不過將全等三角形該成了相似三角形，通過相似三角形得出的對應線段成比例來得出EG：FH=3：2；
（3）按（1）的思路也要通過構(gòu)建全等三角形來求解，可過點A作AM∥HF交BC于點M，過點A作AN∥EG交CD于點N，將△AND繞點A旋轉(zhuǎn)到△APB，不難得出△APM和△ANM全等，那么可得出PM=MN，而MB的長可在直角三角形ABM中根據(jù)AB和AM（即HF的長）求出．如果設DN=x，那么NM=PM=BM+x，MC=BC-BM=1-BM，因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的長，進而可在直角三角形AND中求出AN即EG的長．

解答：（1）證明：過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N
∴AM=HF，AN=EG
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH
∴∠NAM=90°
∴∠BAM=∠DAN
在△ABM和△ADN中，∠BAM=∠DAN，AB=AD，∠ABM=∠ADN
∴△ABM≌△ADN，
∴AM=AN
即EG=FH；

（2）結(jié)論：EG：FH=3：2
證明：過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N
∴AM=HF，AN=EG，
∵長方形ABCD，
∴∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
∴△ABM∽△ADN，
∴

AM

AN

=

AB

AD

，
∵AB=2BC=AD=3，
∴

EG

FH

=

3

2

；

（3）解：過點A作AM∥HF交BC于點M，過點A作AN∥EG交CD于點N，
∵AB=1，AM=FH=

5

2

∴在Rt△ABM中，BM=

1

2

將△AND繞點A旋轉(zhuǎn)到△APB，
∵EG與FH的夾角為45°，
∴∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠MAB=45°，
即∠PAM=∠MAN=45°，
從而△APM≌△ANM，
∴PM=NM，
設DN=x，則NC=1-x，NM=PM=

1

2

+x
在Rt△CMN中，（

1

2

+x）²=

1

4

+（1-x）²，
解得x=

1

3

，
∴EG=AN=

1+x2

=

10

3

，
答：EG的長為

10

3

．

點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)變換等知識．通過輔助線或圖形的旋轉(zhuǎn)將所求的線段與已知的線段構(gòu)建到一對全等或相似的三角形中是本題的基本思路．