Question

【題目】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，研究用正多邊形鑲嵌平面．請(qǐng)解決以下問題：

(1)用一種正多邊形鑲嵌平面

例如，用 6 個(gè)全等的正三角形鑲嵌平面，擺放方案如圖所示：

若用 m 個(gè)全等的正 n 邊形鑲嵌平面，求出 m，n 應(yīng)滿足的關(guān)系式；

(2)用兩種正多邊形鑲嵌平面

若這兩種正多邊形分別是邊長相等的正三角形和正方形，請(qǐng)畫出兩種不同的擺放方案；

(3)用多種正多邊形鑲嵌平面

若鑲嵌時(shí)每個(gè)頂點(diǎn)處的正多邊形有 n 個(gè)，設(shè)這 n 個(gè)正多邊形的邊數(shù)分別為 x1，x2，…，xn，求出 x1，x2，…，xn 應(yīng)滿足的關(guān)系式．(用含 n 的式子表示)

Answer 1

【答案】（1）2m+2n=mn （2）見解析 （3）++…+=

【解析】

利用m、n表示多邊形內(nèi)角和即可得；

根據(jù)題意畫出圖形即可；

若鑲嵌時(shí)每個(gè)頂點(diǎn)處的正多邊形有 n 個(gè)，則把每個(gè)正多邊形的內(nèi)角加一起是360°，列出式子進(jìn)行變形.

解：（1）正邊形的內(nèi)角和為，

故每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，

依題意得：，

整理得：，

即；

（2）如圖：

（3）若鑲嵌時(shí)每個(gè)頂點(diǎn)處的正多邊形有 n 個(gè)，則

＝360°

180°n－＝360°

＋…＋.