【題目】如圖1,共頂點(diǎn)的兩個(gè)三角形△ABC,△AB′C′,若 AB=AB′,AC=AC′,且∠BAC+∠B′AC′=180°,我們稱△ABC 與△AB′C′互為“頂補(bǔ)三角形”.
(1)已知△ABC 與△ADE 互為“頂補(bǔ)三角形”,AF 是△ABC 的中線.
①如圖 2,若△ADE 為等邊三角形時(shí),求證:DE=2AF;
②如圖 3,若△ADE 為任意三角形時(shí),上述結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說明理由.
(2)如圖4,四邊形 ABCD 中,∠B+∠C=90°.在平面內(nèi)是否存在點(diǎn) P,使△PAD 與△PBC 互為“頂補(bǔ)三角形”, 若存在,請(qǐng)畫出圖形,并證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1) ①見解析 ②成立,理由見解析(2)存在點(diǎn)P,證明見解析.
【解析】
(1)①首先證明,再利用與互為“頂補(bǔ)三角形”,求得,,再利用是的中線和,即可證得;
②首先證明,然后根據(jù),證得,再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可解決問題;
(2)先做輔助線,的垂直平分線,則的交點(diǎn),然后利用垂直平分線定理,即可解決問題.
證明:(1)①如圖25-1,
為等邊三角形,
,
與互為“頂補(bǔ)三角形”,
,
是的中線,
,
,
,
即;
②方法一:如圖25-2,
延長到,使,連接,
是的中線,
,又,
,
,,
,
又,,
,
即;方法二:如圖25-3,
取中點(diǎn),連接,并延長到,使,連接可證得, ,(方法同上)
又由是的中線,是的中線,
;
(2)存在點(diǎn).如圖25-4,分別作線段,的垂直平分線,則的交點(diǎn),使得與互為“頂補(bǔ)三角形”.
證明:延長,交于點(diǎn).
,
,
垂直平分于點(diǎn),垂直平分于點(diǎn),
,,, ,, ,
,
綜上所述,與互為“頂補(bǔ)三角形”.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直角△ABC中,∠A為直角,AB=6,AC=8.點(diǎn)P,Q,R分別在AB,BC,CA邊上同時(shí)開始作勻速運(yùn)動(dòng),2秒后三個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)R由點(diǎn)C出發(fā)以每秒4個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過程中:
(1)求證:△APR,△BPQ,△CQR的面積相等;
(2)求△PQR面積的最小值;
(3)用t(秒)(0≤t≤2)表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間,是否存在t,使∠PQR=90°?若存在,請(qǐng)直接寫出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為提倡節(jié)約用水,準(zhǔn)備實(shí)行自來水“階梯計(jì)費(fèi)”方式,用戶用水不超出基本用水量的部分享受基本價(jià)格,超出基本用水量的部分實(shí)行超價(jià)收費(fèi),為更好地決策,自來水公司的隨機(jī)抽取了部分用戶的用水量數(shù)據(jù),并繪制了如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖,(每組數(shù)據(jù)包括在右端點(diǎn)但不包括左端點(diǎn)),請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題:
(1)此次抽樣調(diào)查的樣本容量是 .
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖,求扇形圖中“15噸~20噸”部分的圓心角的度數(shù).
(3)如果自來水公司將基本用水量定為每戶25噸,那么該地區(qū)6萬用戶中約有多少用戶的用水全部享受基本價(jià)格?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC中,D為AB邊上任意一點(diǎn),DF∥AC交BC于F,AE∥BC,∠CDE=∠ABC=∠ACB=α.
(1)如圖1,當(dāng)α=60°時(shí),求證:△DCE是等邊三角形.
(2)如圖2.當(dāng)α=45°時(shí),求證:① = ;②CE⊥DE.
(3)如圖3,當(dāng)α為任意銳角時(shí),請(qǐng)直接寫出線段CE與DE的數(shù)量關(guān)系(用α表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,研究用正多邊形鑲嵌平面.請(qǐng)解決以下問題:
(1)用一種正多邊形鑲嵌平面
例如,用 6 個(gè)全等的正三角形鑲嵌平面,擺放方案如圖所示:
若用 m 個(gè)全等的正 n 邊形鑲嵌平面,求出 m,n 應(yīng)滿足的關(guān)系式;
(2)用兩種正多邊形鑲嵌平面
若這兩種正多邊形分別是邊長相等的正三角形和正方形,請(qǐng)畫出兩種不同的擺放方案;
(3)用多種正多邊形鑲嵌平面
若鑲嵌時(shí)每個(gè)頂點(diǎn)處的正多邊形有 n 個(gè),設(shè)這 n 個(gè)正多邊形的邊數(shù)分別為 x1,x2,…,xn,求出 x1,x2,…,xn 應(yīng)滿足的關(guān)系式.(用含 n 的式子表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn),連接PA,以PA,PC為鄰邊作平行四邊形PAQC,連接PQ,則PQ的最小值為( )
A. B. C. D. 2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一個(gè)正比例函數(shù)圖象與一個(gè)一次函數(shù)圖象交于點(diǎn)A(3,4),且一次函數(shù)的圖象與y軸相交于點(diǎn)B(0,-5).
(1)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求△AOB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,一枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子,它有四個(gè)面并分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.如圖2,正方形ABCD頂點(diǎn)處各有一個(gè)圈.跳圈游戲的規(guī)則為:游戲者每擲一次骰子,骰子著地一面上的數(shù)字是幾,就沿正方形的邊順時(shí)針方向連續(xù)跳幾個(gè)邊長.
如:若從圈A起跳,第一次擲得3,就順時(shí)針連續(xù)跳3個(gè)邊長,落到圈D;若第二次擲得2,就從D開始順時(shí)針連續(xù)跳2個(gè)邊長,落到圈B;…
設(shè)游戲者從圈A起跳.
(1)嘉嘉隨機(jī)擲一次骰子,求落回到圈A的概率P1;
(2)淇淇隨機(jī)擲兩次骰子,用列表法求最后落回到圈A的概率P2 , 并指出她與嘉嘉落回到圈A的可能性一樣嗎?
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