Question

已知，紙片⊙O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作．
（1）①折疊后的所在圓的圓心為O′時(shí)，求O′A的長(zhǎng)度；
②如圖2，當(dāng)折疊后的經(jīng)過圓心為O時(shí)，求的長(zhǎng)度；
③如圖3，當(dāng)弦AB=2時(shí)，求圓心O到弦AB的距離；
（2）在圖1中，再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作．
①如圖4，當(dāng)AB∥CD，折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)O到弦AB．CD的距離之和為d，求d的值；
②如圖5，當(dāng)AB與CD不平行，折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，試探究四邊形OMPN的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）①2，② ，③（2）①2，②平行四邊形，證明見解析

解：（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，
∴O′A=OA=2；
②當(dāng)經(jīng)過圓O時(shí)，折疊后的所在圓O′在⊙O上，如圖2所示，連接O′A．OA．O′B，OB，OO′

∵△OO′A△OO′B為等邊三角形，
∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°
∴==；
③如圖3所示，連接OA，OB，

∵OA=OB=AB=2，
∴△AOB為等邊三角形，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，
∴OE=OA•sin60°=．
（2）①如圖4，當(dāng)折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，
過點(diǎn)O作EF⊥AB交AB于點(diǎn)H、交于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)G、交于點(diǎn)F，
即點(diǎn)E、H、P、O、G、F在直徑EF上，

∵AB∥CD，
∴EF垂直平分AB和CD，
根據(jù)垂徑定理及折疊，可知PH=PE，PG=PF，
又∵EF=4，
∴點(diǎn)O到AB．CD的距離之和d為：
d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2，
②如圖5，當(dāng)與不平行時(shí)，
四邊形是平行四邊形．
證明如下：
設(shè)O′O″為和所在圓的圓心，
∵點(diǎn)O′與點(diǎn)O關(guān)于AB對(duì)稱，點(diǎn)O″于點(diǎn)O關(guān)于CD對(duì)稱，
∴點(diǎn)M為的OO′中點(diǎn)，點(diǎn)N為OO″的中點(diǎn)
∵折疊后的與所在圓外切，
∴連心線O′O″必過切點(diǎn)P，
∵折疊后的與所在圓與⊙O是等圓，
∴O′P=O″P=2，∴PM=OO″=ON，PM=ON，
∴四邊形OMPN是平行四邊形．

（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，可得O′A的長(zhǎng)度；
②如圖2，過點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，連接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE為等邊三角形，從而得到的圓心角，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可；
③如圖3，連接O′A．O′B，過點(diǎn)O′作O′E⊥AB于點(diǎn)E，可得△AO′B為等邊三角形，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)可求折疊后求所在圓的圓心O′到弦AB的距離；
（2）①如圖4，與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，過點(diǎn)O作EF⊥AB交于于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，根據(jù)垂徑定理及折疊，可求點(diǎn)O到AB．CD的距離之和；
②根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得證．