Question

已知如圖所示，AD是△ABC的角平分線，過點A的直線MN⊥AD，CH⊥MN．求證：HB+CH＞AB+AC．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),三角形三邊關(guān)系

專題：

分析：首先延長CH交BA的延長線于E，再證明∠E=∠ACH，根據(jù)等角對等邊可得AE=AC，再利用三角形的三邊關(guān)系定理可得BH+HE＞BE，再利用等量代換可得HB+CH＞AB+AC．

解答：證明：延長CH交BA的延長線于E，
∵MN⊥AD，CH⊥MN，
∴∠NAD=∠NHC=90°，
∴AD∥CH，
∴∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACH，
∵AN平分∠CAE，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠E=∠ACH，
∴AE=AC，
在△BHE中，BH+HE＞BE，
即BH+HC＞BA+AE，
∴HB+CH＞AB+AC．

點評：此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是正確畫出輔助線，證明AE=AC．