Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，矩形的頂點、，將矩形的一個角沿直線折疊，使得點落在對角線上的點處，折痕與軸交于點．

（1）求線段的長度；

（2）求直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；

（3）若點在線段上，在線段上是否存在點，使以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）15；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理即可解決問題；

（2）設(shè)AD=x，則OD=OA=AD=12-x，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，DE=x，BE=AB=9，又OB=15，可得OE=OB-BE=15-9=6，在Rt△OED中，根據(jù)OE2+DE2=OD2，構(gòu)建方程即可解決問題；

（3）過點E作EP∥BD交BC于點P，過點P作PQ∥DE交BD于點Q，則四邊形DEPQ是平行四邊形，再過點E作EF⊥OD于點F，想辦法求出最小PE的解析式即可解決問題.

解：（1）由題知：.

（2）設(shè)，則，

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，，，

又，

∴，

在中，，

即，

解得 ，

∴，

∴點，

設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為：，

則， 解得 ，

∴直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為：，

（3）存在，過點作EP∥DB交于點，過點作PQ∥ED交于點，則四邊形是平行四邊形．再過點作于點，

由，

得，即點的縱坐標為，

又點在直線：上，

∴， 解得 ， ∴

由于EP∥DB，所以可設(shè)直線：，

∵在直線上

∴， 解得 ，

∴直線：，

令，則，

解得，

∴.