Question

【題目】如圖，拋物線y＝mx2+nx﹣3（m≠0）與x軸交于A(﹣3，0)，B(1，0)兩點，與y軸交于點C，直線y＝﹣x與該拋物線交于E，F兩點．

（1）求點C坐標及拋物線的解析式．

（2）P是直線EF下方拋物線上的一個動點，作PH⊥EF于點H，求PH的最大值．

（3）以點C為圓心，1為半徑作圓，⊙C上是否存在點D，使得△BCD是以CD為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出D點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）；（3）點D的坐標為：(，﹣3﹣)、(﹣，﹣3+)、(1，﹣3)

【解析】

（1）設拋物線的表達式為：，解出a的值即可；

（2）設點P（x，x2+2x﹣3）、點M（x，﹣x），則PH＝PM＝，將表達式配成頂點式即可得出答案；

（3）分∠BCD＝90°、∠CDB＝90°兩種情況，作出圖形分別求解即可．

解：（1）∵拋物線與x軸交于A(﹣3，0)，B(1，0)兩點，

∴拋物線的表達式為：，

即﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故拋物線的表達式為：y＝x2+2x﹣3；

（2）過點P作PM∥y軸交直線EF于點M，

設點P(x，x2+2x﹣3)、點M(x，﹣x)，

則PH＝PM＝，

當x＝﹣時，PH的最大值為；

（3）①當∠BCD＝90°時，如圖2左側(cè)圖，

當點D在BC右側(cè)時，

過點D作DM⊥y軸于點M，則CD＝1，OB＝1，OC＝3，

tan∠BCO＝＝tan∠CDM＝tanα，則sinα＝，cosα＝；

xD＝CDcosα＝，同理yD＝﹣3﹣，

故點D(，﹣3﹣)；

同理當點D（D′）在BC的左側(cè)時，

同理可得：點D′(﹣，﹣3+)；

②當∠CDB＝90°時，

如右側(cè)圖，CD＝OB＝1，則點D(1，﹣3)；

綜上，點D的坐標為：(，﹣3﹣)、(﹣，﹣3+)、(1，﹣3)．