Question

已知：a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊，a＞b，關(guān)于x的方程x²-2（a+b）x+2ab+c²=0有兩相等的實數(shù)根，且∠A、∠B的正弦值是關(guān)于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的兩根，若△ABC外接圓面積為25π，求△ABC的周長．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,三角形的外接圓與外心

專題：

分析：先根據(jù)方程有兩相等的實數(shù)根可判斷出△ABC是直角三角形，再根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系及sinA，sinB是關(guān)于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的兩根可得出sinA+sinB=

2m-5

m+5

，sinAsinB=

m-8

m+5

，再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系可求出m的值；根據(jù)三角形外接圓的面積求出其半徑及直徑的長，進而可得出sinA=

3

5

或

4

5

，再分正方形兩邊在三角形兩直角邊上和正方形的一條邊在三角形的斜邊上兩種情況進行討論．

解答：解：∵關(guān)于x的方程x²-2（a+b）x+c²+2ab=0有等根，
∴△=4（a+b）²-4（c²+2ab）=0，即a²+b²=c²
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，sinB=sin（

π

2

-A）=cosA，
∵sinA，sinB是關(guān)于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的兩根，
∴sinA+cosA=

2m-5

m+5

，sinAcosA=

m-8

m+5

，
∵sin²A+cos²A=1，
∴m₁=20，m₂=4，
又∵sinA＞0，cosA＞0，
∴m=20；
∵△ABC外接圓面積為25π，
∴r=5，
∴c=10，
sinA=

3

5

或

4

5

，
∴直角邊分別為6，8，
則△ABC的周長為6+8+10=24．

點評：本題考查根的判別式、勾股定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系及三角形的外接圓，涉及面較廣，難度較大．