Question

下面是小華和小明的對話：
小華：“這個凸多邊形的內(nèi)角和是2005°．”
小明：“不可能吧！你把一個外角當內(nèi)角加在了一起．”
請問這個多邊形的內(nèi)角和是多少度？

Answer 1

考點：多邊形內(nèi)角與外角

專題：

分析：由n邊形的內(nèi)角和公式為（n-2）180°，可知n邊形的內(nèi)角和一定是180°的整數(shù)倍，而2005不能被180整除，所以小明說不可能；根據(jù)這個凸多邊形的某一個內(nèi)角的外角與其余內(nèi)角的和為2005°列出方程，挖掘隱含著邊數(shù)為正整數(shù)這個條件求解．

解答：解：∵2005÷180=11

5

36

，
即2005不能被180整除，
∴小明說不可能；
設小華求的是n幾邊形的內(nèi)角和，這個內(nèi)角為x度，則0＜x＜180°．
根據(jù)題意，得（n-2）•180°-x+（180°-x）=2005°，
解得n=12+

2x+25

180

．
∵n為正整數(shù)，
∴2x+25必為180的倍數(shù)，
又∵0＜x＜180，
∴

5

36

＜

2x+25

180

＜

77

36

，
∴n=13或14．
∴小華求的是十三邊形或十四邊形的內(nèi)角和，內(nèi)角和分別為180°×（13-2）=1980°，180°×（14-2）=2160°．
故這個多邊形的內(nèi)角和是1980或2160度．

點評：本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理及內(nèi)角與外角的關(guān)系，題目較難．n邊形的內(nèi)角和為：180°•（n-2）；多邊形的內(nèi)角與它相鄰的外角互為鄰補角．