拋物線對稱軸為直線x=4,且過點O(0,0),B(-2,-10),A是拋物線與x軸另一個交點.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)如圖,點C從O點出發(fā),沿x軸以每秒鐘一個單位的速度運動,矩形CDEF內(nèi)接于拋物線,C、D在x軸上,E、F在拋物線上,運動時間t(0<t<4)為何值時,內(nèi)接矩形CDEF的周長最長?并求周長的最大值;
(3)在(2)中內(nèi)接矩形CDEF的周長取得最大的條件下,x軸上是否存在點P使△精英家教網(wǎng)PEF為直角三角形(P為直角頂點)?若存在,請求P點坐標(biāo);若不存在,說明理由.
分析:(1)由對稱軸x=4及過點O(0,0),可得A(8,0),設(shè)交點式y(tǒng)=ax(x-8),將B(-2,-10)代入,可求拋物線解析式;
(2)由已知得C(t,0),用拋物線解析式表示CF,由拋物線的對稱性可知D(8-t,0),則CD=8-2t,可表示矩形CDEF的周長,運用二次函數(shù)的性質(zhì)求周長的最大值;
(3)不存在.由(2)的結(jié)論求E、F兩點坐標(biāo),以EF為直徑畫圓,判斷這個圓與x軸無交點即可.
解答:解:(1)∵拋物線對稱軸為x=4,又過點O(0,0),
∴A(8,0),
設(shè)拋物線解析式為y=ax(x-8),將B(-2,-10)代入,得a=-
1
2
,
∴拋物線解析式為y=-
1
2
x(x-8)=-
1
2
x2+4x;

(2)∵C(t,0),
∴F(t,-
1
2
t2+4t),
∴CF=-
1
2
t2+4t,
由拋物線的對稱性可知D(8-t,0),
∴CD=8-t-t=8-2t,
∴矩形CDEF的周長=2(CF+CD)=2(-
1
2
t2+4t+8-2t)=-t2+4t+16,
∵-1<0,二次函數(shù)-t2+4t+16開口向下,
∴當(dāng)t=2時,矩形CDEF的周長最大值為20;

(3)不存在.
當(dāng)t=2時,F(xiàn)(2,6),E(6,6),
∴EF=6-2=4,EF與x軸的距離為6,
以EF為直徑的圓與x軸沒有交點,
∴不存在點P,使△PEF為直角三角形(P為直角頂點).
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合運用.關(guān)鍵是根據(jù)拋物線及矩形的對稱性求點的坐標(biāo),確定拋物線解析式,再表示矩形各頂點坐標(biāo)及矩形的邊長,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A、B,與y軸交于點C,OC=4,AO=2OC,且精英家教網(wǎng)拋物線對稱軸為直線x=-3.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)己知矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上,頂點F、G分別在AC、BC上,設(shè)OD=m,矩形DEFG的面積為S,當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時,連接DF并延長至點M,使FM=
25
DF
,求出此時點M的坐標(biāo);
(3)若點Q是拋物線上一點,且橫坐標(biāo)為-4,點P是y軸上一點,是否存在這樣的點P,使得△BPQ是直角三角形?如果存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x與y的部分對應(yīng)值如下表:
x -1 0 1 2
y 0 3 4 3
則下列關(guān)于該函數(shù)的判斷中不正確的是( 。

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如圖,已知拋物線對稱軸為直線x=4,且與x軸交于A、B兩點(A在B左側(cè)),B點坐標(biāo)為(6,0),過點B的直線與拋物線交于點C(3,
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).
(1)寫出點A坐標(biāo);
(2)求拋物線解析式;
(3)在拋物線的BC段上,是否存在一點P,使得四邊形ABPC的面積最大?若存在,求出這個最大值及此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(4)若點M在線段AB上以每秒1個單位長度的速度從A向B運動,同時,點N在射線BC上以每秒2個單位長度的速度從B向C運動,當(dāng)其中一個點停止運動時,另一個點也隨之停止運動.設(shè)運動時間為t秒,當(dāng)t為何值,△MNB為等腰三角形,寫出計算過程.

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如圖,已知拋物線對稱軸為直線x=4,且與x軸交于A、B兩點(A在B左側(cè)),B點坐標(biāo)為(6,0),過點B的直線與拋物線交于點C(3,).
(1)寫出點A坐標(biāo);
(2)求拋物線解析式;
(3)在拋物線的BC段上,是否存在一點P,使得四邊形ABPC的面積最大?若存在,求出這個最大值及此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(4)若點M在線段AB上以每秒1個單位長度的速度從A向B運動,同時,點N在射線BC上以每秒2個單位長度的速度從B向C運動,當(dāng)其中一個點停止運動時,另一個點也隨之停止運動.設(shè)運動時間為t秒,當(dāng)t為何值,△MNB為等腰三角形,寫出計算過程.

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