Question

如圖，已知拋物線對稱軸為直線x=4，且與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），過點(diǎn)B的直線與拋物線交于點(diǎn)C（3，

9

4

）．
（1）寫出點(diǎn)A坐標(biāo)；
（2）求拋物線解析式；
（3）在拋物線的BC段上，是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形ABPC的面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）若點(diǎn)M在線段AB上以每秒1個(gè)單位長度的速度從A向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N在射線BC上以每秒2個(gè)單位長度的速度從B向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值，△MNB為等腰三角形，寫出計(jì)算過程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，利用點(diǎn)B的坐標(biāo)與對稱軸求解；
（2）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式列式計(jì)算即可得解；
（3）假設(shè)存在，根據(jù)拋物線解析式設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-

3

4

x²+6x-9），過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，則S_{四邊形ABPC}=S_△ACE+S_梯形CEFP+S_△BPF，再根據(jù)三角形的面積公式與梯形的面積公式列式整理，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（4）根據(jù)A、B的坐標(biāo)求出AB的長度，根據(jù)勾股定理求出BC的值，再分①BN=MN時(shí)，過點(diǎn)N作ND⊥BM于點(diǎn)D，然后利用∠ABC的余弦列式計(jì)算即可得解，②BN=BM時(shí)，用t表示出BM、BN，列出方程計(jì)算即可得解，③BM=MN時(shí)，過點(diǎn)M作MH⊥BN于點(diǎn)H，然后利用∠ABC的余弦列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），拋物線對稱軸為直線x=4，
4×2-6=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）；

（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵A（2，0），B（6，0），C（3，

9

4

），
∴

4a+2b+c=0 36a+6b+c=0 9a+3b+c= 9 4

，
解得

a=- 3 4 b=6 c=-9

，
∴拋物線解析式為y=-

3

4

x²+6x-9；

（3）存在．理由如下：
如圖，設(shè)存在點(diǎn)P（x，-

3

4

x²+6x-9），使得四邊形ABPC的面積最大，
過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵A（2，0），B（6，0），C（3，

9

4

），
∴S_{四邊形ABPC}=S_△ACE+S_梯形CEFP+S_△BPF
=

1

2

×（3-2）×

9

4

+

1

2

（

9

4

-

3

4

x²+6x-9）×（x-3）+

1

2

×（6-x）×（-

3

4

x²+6x-9）
=

9

8

+

9

8

（x-3）+

1

2

（-

3

4

x²+6x-9）×（x-3）+

1

2

×（6-x）×（-

3

4

x²+6x-9）
=-

9

8

（x²-9x+14）
=-

9

8

（x-

9

2

）²+

225

32

，
∵3＜

9

2

＜6，
∴當(dāng)x=

9

2

時(shí)，四邊形ABPC的面積有最大值，最大值為

225

32

，
此時(shí)，-

3

4

x²+6x-9=-

3

4

×（

9

2

）²+6×

9

2

-9=

45

16

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

9

2

，

45

16

）；

（4）∵A（2，0），B（6，0），
∴AB=6-2=4，
∵B（6，0），C（3，

9

4

），
∴BC=

(6-3)2+( 9 4 )2

=

15

4

．
①BN=MN時(shí)，如圖，過點(diǎn)N作ND⊥BM于點(diǎn)D，則BD=MD=

1

2

（4-t），
cos∠ABC=

1 2 (4-t)

2t

=

6-3

15 4

，
解得t=

20

21

，
②BN=BM時(shí)，如圖，BM=4-t，BN=2t，
所以，4-t=2t，
解得t=

4

3

，
③BM=MN時(shí)，如圖，過點(diǎn)M作MH⊥BN于點(diǎn)H，
則BH=

1

2

BN=

1

2

×2t=t，
BM=4-t，
cos∠ABC=

t

4-t

=

6-3

15 4

，
解得t=

16

9

，
綜上所述，當(dāng)t為

20

21

或

4

3

或

16

9

秒時(shí)，△MNB為等腰三角形．

點(diǎn)評：本題綜合考查了二次函數(shù)，主要利用了二次函數(shù)的對稱性，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，不規(guī)則圖形的面積的求解，二次函數(shù)的最值問題，以及等腰三角形的性質(zhì)，（3）運(yùn)算量比較大，計(jì)算時(shí)要認(rèn)真仔細(xì)，（4）要根據(jù)等腰三角形腰的不同分情況討論．