Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，連接PC．將線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PF，連接BF．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），△PBF的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)△PBF的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△PBF的最大面積；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P在線段OB上移動(dòng)的過(guò)程中，△PBF能否成為等腰三角形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）（法一）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+2（a≠0），把A（-1，0），B（5，0），三點(diǎn)代入解析式得：

a-b+c=0 25a+5b+c=0 c=2

，
解得

a=- 2 5 b= 8 5 c=2

；
∴y=-

2

5

x2+

8

5

x+2；
（法二）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-5）（x+1），
把（0，2）代入解析式得：2=-5a，
∴a=-

2

5

；
∴y=-

2

5

(x+1)(x-5)，
即y=-

2

5

x2+

8

5

x+2；

（2）①過(guò)點(diǎn)F作FD⊥x軸于D，如圖1，
當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)（-1≤t＜0），BP=5-t，DF=-t；
∴S_△PBF=

1

2

BP×DF=

1

2

t2-

5

2

t（-1≤t≤0），
當(dāng)t=-1時(shí)，S_△PBF有最大值2；此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）；



②當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)（0＜t≤5），如圖2，DF=t，BP=5-t；
∴S_△PBF=

1

2

BP×DF=-

1

2

t²+

5

2

t（0＜t≤5）；
當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S_△PBF有最大值

25

8

；此時(shí)坐標(biāo)為（

5

2

，0）；
綜上S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=

1 2 t2- 5 2 t(-1≤t≤0) - 1 2 t2+ 5 2 t(0＜t≤5)

，
當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S_△PBF有最大值

25

8

；此時(shí)坐標(biāo)為（

5

2

，0）；



（3）能；
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），
當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，這樣的等腰三角形不存在，
當(dāng)0＜t≤5時(shí)，如圖3，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（2+t，t），
PF=

4+t2

，F(xiàn)B=

(3-t)2+t2

，
若△PBF是等腰三角形，則PF=FB，
解得t=1或t=5（不符合題意舍去），
故當(dāng)t=1時(shí)△PBF是等腰三角形．