Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），將直線y=kx沿y軸向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后恰好經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)．
（1）求直線BC及拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，且∠APD=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接CD，求∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)．

Answer 1

（1）∵y=kx沿y軸向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過(guò)y軸上的點(diǎn)C，
∴C（0，3）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3．
∵B（3，0）在直線BC上，
∴3k+3=0．
解得k=-1．
∴直線BC的解析式為y=-x+3．（1分）
∵拋物線y=x²+bx+c過(guò)點(diǎn)B，C，
∴

9+3b+c=0 c=3

解得

b=-4 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3．（2分）

（2）由y=x²-4x+3．
可得D（2，-1），A（1，0）．
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2．
可得△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，CB=3

2

．
如圖1，設(shè)拋物線對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)F，
∴AF=

1

2

AB=1．
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E．
∴∠AEB=90度．
可得BE=AE=

2

，CE=2

2

．
在△AEC與△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP．
∴

AE

AF

=

CE

PF

，

2

1

=

2 2

PF

．
解得PF=2．∵點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（2，-2）．（5分）

（3）解法一：
如圖2，作點(diǎn)A（1，0）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，則A'（-1，0）．
連接A'C，A'D，
可得A'C=AC=

10

，∠OCA'=∠OCA．
由勾股定理可得CD²=20，A'D²=10．
又∵A'C²=10，
∴A'D²+A'C²=CD²．
∴△A'DC是等腰直角三角形，∠CA'D=90°，
∴∠DCA'=45度．
∴∠OCA'+∠OCD=45度．
∴∠OCA+∠OCD=45度．
即∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)為45度．（7分）
解法二：
如圖3，連接BD．
同解法一可得CD=

20

，AC=

10

．
在Rt△DBF中，∠DFB=90°，BF=DF=1，
∴DB=

DF2+BF2

=

2

．
在△CBD和△COA中，

DB

AO

=

2

1

=

2

，

BC

OC

=

3 2

3

=

2

，

CD

CA

=

20

10

=

2

．
∴

DB

AO

=

BC

OC

=

CD

CA

．
∴△CBD∽△COA．
∴∠BCD=∠OCA．
∵∠OCB=45°，
∴∠OCA+∠OCD=45度．
即∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)為45度．（9分）