如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（經(jīng)過(guò)原點(diǎn)）與x軸相交于N點(diǎn)，直線y=kx+4與坐標(biāo)軸分別相交于A、D兩點(diǎn)，與拋物線相交于B（1，m）和C（2，2）兩點(diǎn)．
（1）求直線與拋物線的表達(dá)式；
（2）求證：C點(diǎn)是△AOD的外心；
（3）若（1）中的拋物線，在x軸上方的部分，有一動(dòng)點(diǎn)P（x，y），設(shè)∠PON=α．當(dāng)sinα為何值時(shí)，△PON的面積有最大值？
（4）若P點(diǎn)保持（3）中運(yùn)動(dòng)路線，是否存在△PON，使得其面積等于△OCN面積的
9
16
？若存在，求出動(dòng)點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)出理由．
（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴其表達(dá)式可以寫(xiě)成y=ax2+bx．
∵直線y=kx+4與拋物線相交于B、C兩點(diǎn)，把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=kx+4，得：
2=2k+4
m=k+4
，
解得：
k=-1
m=3
，
∴直線是：y=-x+4，
點(diǎn)B（1，3），C（2，2）代入二次函數(shù)的表達(dá)式，得：
3=a+b
2=4a+2b
，
解得：
a=-2
b=5
，
∴拋物線的表達(dá)式為：y=-2x2+5x．

（2）∵y=-x+4，令x=0，y=4；
令y=0，x=4，
∴A（0，4），D（4，0）．
∴AD=
42+42
=4
2
．而OC=2
2
，
∴OC=
1
2
AD．
∴C是Rt△AOD的外心．

（3）通過(guò)分析知道，P為頂點(diǎn)時(shí)，S△OPN面積最大．
此時(shí)，P（
5
4
，
25
8
），
又∵方程-2x2+5x=0的兩根是x1=0，x2=
5
2
，即ON=
5
2
．
∴OP=
(
5
4
)2+(
25
8
)2
=
5
29
8
．
∴sinα=
25
8
5
29
8
=
25
8
×
8
5
29
=
5
29
29
，此時(shí)△PON有最大面積（底是相同的）．

（4）存在．
理由：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于N點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-2x2+5x），
∴S△OCN=
1
2
ON•PD=
1
2
×
5
2
×（-2x2+5x）=
5
4
（-2x2+5x），
∵S△OCN=ON×2×
1
2
=ON=
5
2
，
又∵△PON的面積等于△OCN面積的
9
16
，
∴
5
4
（-2x2+5x）=
5
2
×
9
16
，
解得：x1=
1
4
，x2=
9
4
，
∴當(dāng)x=
1
4
時(shí)，y=
9
8
，
當(dāng)x=
9
4
時(shí)，y=
9
8
，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（
1
4
，
9
8
）或（
9
4
，
9
8
）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

拋物線y=a（x+6）2-3與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于C，D為拋物線的頂點(diǎn)，直線DE⊥x軸，垂足為E，AE2=3DE．
（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）P為直線DE上的一動(dòng)點(diǎn)，以PC為斜邊構(gòu)造直角三角形，使直角頂點(diǎn)落在x軸上．若在x軸上的直角頂點(diǎn)只有一個(gè)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）M為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作直線MN⊥DM，交直線DE于N，當(dāng)M點(diǎn)在拋物線的第二象限的部分上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在使點(diǎn)E三等分線段DN的情況？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-5）和（-2，4）
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設(shè)此拋物線與直線y=x相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），平行于y軸的直線x=m（0＜m＜
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+1）與拋物線交于點(diǎn)M，與直線y=x交于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)P，求線段MN的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）在條件（2）的情況下，連接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面積S最大？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知：二次函數(shù)y=a（x-1）2+4的圖象如圖所示，拋物線交y軸于點(diǎn)C，交x軸于A、B兩點(diǎn)，用A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求a的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）連接AC、BC，E是線段OC上的動(dòng)點(diǎn)（不與O、C兩點(diǎn)重合），過(guò)E點(diǎn)作直線PE⊥y軸交線段AC于點(diǎn)P，交線段BC于點(diǎn)Q．求證：
CE
CO
=
PQ
AB
．
（3）設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，n），在線段AB上是否存在一點(diǎn)R，使得以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出n的值，并畫(huà)出相應(yīng)的示意圖；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知A（0，1）、D（4，3），P是以AD為對(duì)角線的矩形ABDC內(nèi)部（不在各邊上）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，拋物線y=ax2+bx+1以P為頂點(diǎn)．
（1）能否判斷拋物線y=ax2+bx+1的開(kāi)口方向？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）設(shè)拋物線y=ax2+bx+1與x軸有交點(diǎn)F、E（F在E的左側(cè)），△EAO與△FAO的面積之差為3，且這條拋物線與線段AD有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
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2
，這時(shí)能確定a、b的值嗎？若能，請(qǐng)求出a、b的值；若不能，請(qǐng)確定a、b的取值范圍．（本題的圖形僅供分析參考用）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

把一根長(zhǎng)100cm的鐵絲分為兩部分，每一部分均彎曲成一個(gè)正方形，它們的面積和最小是______cm2．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

張伯伯利用現(xiàn)有的一面墻（足夠長(zhǎng)）和60米長(zhǎng)的籬笆，把墻外的空地圍成四個(gè)相連且面積相等的矩形養(yǎng)兔場(chǎng)（如圖），設(shè)每個(gè)小矩形一邊的長(zhǎng)為x米，設(shè)四個(gè)小矩形的總面積為y平方米，
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，求出最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知，平面直角坐標(biāo)系上有A（a，0）、B（0，-b）、C（b，0）三點(diǎn)，且a≥b＞0，拋物線y=（x-2）（x-m）-（n-2）（n-m）．（m，n為常數(shù)，且m+2≥2n＞0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P
（1）當(dāng)m，n滿足什么關(guān)系時(shí)，S△AOB最大；
（3）如圖，當(dāng)△ACP為直角三角形時(shí)，判斷以下命題是否正確：“直角三角形DEF的三個(gè)頂點(diǎn)都在這條拋物線上，且DF∥x軸，那么△ACP與△DEF斜邊上的高相等”，如果正確請(qǐng)予以證明，不正確請(qǐng)舉出反例．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線y=x2-2x-2交x軸于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心為M．
（1）求圓心M的坐標(biāo)；
（2）求⊙M上劣弧AB的長(zhǎng)；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使線段OC和MD互相平分？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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