Question

將兩塊斜邊長相等的等腰直角三角形按如圖A擺放，斜邊AB分別交CD、CE于M、N點，
（1）如果把圖A中的△BCN繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF，連接FM，如圖B，求證：△CMF≌△CMN：
（2）將△CED繞點C旋轉(zhuǎn)：
①當(dāng)點M、N在AB上（不與A、B重合）時，線段AM、MN、NB之間有一個不變的關(guān)系式，請你寫出這個關(guān)系式，并說明理由；
②當(dāng)點M在AB上，點N在AB的延長線上（如圖C）時，①中的關(guān)系式是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵△BCN繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF，
∴CF=CN，∠ACF=∠BCN，
∵∠DCE=45°，
∴∠ACM+∠BCN=45°，
∴∠ACM+∠ACF=45°，
即∠MCF=45°，
∴∠MCF=∠MCN，
在△CMF和△CMN中，，
∴△CMF≌△CMN（SAS）；

（2）①∵△CMF≌△CMN，
∴FM=MN，
又∵∠CAF=∠B=45°，
∴∠FAM=∠CAF+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AM²+AF²=FM²，
∴AM²+BN²=MN²；

②如圖，把△BCN繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF，
則AF=BN，CF=CN，∠BCN=∠ACF，
∵∠MCF=∠ACB-∠MCB-∠ACF=90°-（45°-∠BCN）-∠ACF=45°+∠BCN-∠ACF=45°，
∴∠MCF=∠MCN，
在△CMF和△CMN中，，
∴△CMF≌△CMN（SAS），
∴FM=MN，
∵∠ABC=45°，
∴∠CAF=∠CBN=135°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠FAM=∠CAF-∠BAC=135°-45°=90°，
∴AM²+AF²=FM²，
∴AM²+BN²=MN²．
分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CF=CN，∠ACF=∠BCN，再求出∠ACM+∠BCN=45°，從而求出∠MCF=45°，然后利用“邊角邊”證明△CMF和△CMN全等即可；
（2）①根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得FM=MN，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AF=BN，∠CAF=∠B=45°，從而求出∠BAF=90°，再利用勾股定理列式即可得解；
②把△BCN繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AF=BN，CF=CN，∠BCN=∠ACF，再求出∠MCF=∠MCN，然后利用“邊角邊”證明△CMF和△CMN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MF=MN，然后利用勾股定理列式即可得解．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，此類題目根據(jù)相同的思路確定出全等的三角形，然后找出條件是解題的關(guān)鍵．