Question

如圖1，已知Rt△ABC的直角邊AC的長為2，以AC為直徑的⊙O與斜邊AB交于點D，過D點作⊙O的切線

（1）求證：BE=DE；
（2）延長DE與AC的延長線交于點F，若DF=，求△ABC的面積；
（3）從圖1中，顯然可知BC＜AC．試分別討論在其它條件不變，當BC=AC（圖2）和BC＞AC（圖3）時，直線DE與直線AC還會相交嗎？若不能相交，請簡要說明理由；若能相交，設交點為F'且DF'=，請再求出△ABC的面積．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∴OD⊥DE，
∴∠ADO+∠BDE=90°，
∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，
∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，
∴∠B=∠BDE，∴BE=DE；

（2）解：在直角三角形ODF中，OD=1，DF=，∴∠OFD=30°，
∴OF=2，AF=3．
∴tan∠A=，
∴BC=AC•tan∠A=2×tan30°=．
S_△ABC=AC•BC=×2×=；

（3）解：如圖，
當BC=AC時，直線DE與直線AC平行；
當BC＞AC時，
在直角三角形ODF′中，OD=1，DF′=，∴∠OF′D=30°，
∴OF′=2，AF=1，∴CF′=3，∠BAC=60°，
∴tan∠BAC=，
∴BC=AC•tan∠BAC=2×tan60°=2．
S_△ABC=AC•BC=×2×2=2．
分析：（1）連接OD，可證得∠ADO+∠BDE=90°，再根據OA=OD，得∠A=∠ADO，可得出∠B=∠BDE，即證出BE=DE；
（2）畫出圖形，然后觀察圖形．在直角三角形ODF中，OD=1，DF=，所以∠OFD=30°，OF=2，AF=3，再根據三角函數求得BC；
（3）當BC=AC時，直線DE與直線AC平行；當BC＞AC時，畫出圖形，然后觀察圖形．在直角三角形ODF′中，OD=1，DF′=，所以∠OF′D=30°，OF′=2，AF′=1；
則∠BAC=60°，再根據三角函數求得BC．
點評：本題考查了切割線定理、圓周角定理、切線的性質以及特殊角的三角函數值，是基礎知識要熟練掌握．