Question

【題目】在四邊形ABCD中，點E，F分別是邊AB，AD上的點，連接CE，CF并延長，分別交DA，BA的廷長線于點H，G．

（1）如圖1，若四邊形ABCD是菱形，∠ECF＝∠BCD，求證：AC2＝AHAG；

（2）如圖2，若四邊形ABCD是正方形，∠ECF＝45°，BC＝4，設(shè)AE＝x，AG＝y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如圖3，若四邊形ABCD是矩形，AB：AD＝1：2，CG＝CH，∠GCH＝45°，請求tan∠AHG的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y＝；（3）

【解析】

（1）通過證明△ACG∽△AHC，可得，可得結(jié)論；

（2）通過證明△ACG∽△AHC，可得，可得AC2=AHAG，通過證明△EAH∽△EBC，可得，即，即可求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）取BC中點M，過點M作MN∥BG，交AD于點P，交CG于點N，連接CP，可證四邊形CDPM是正方形，由（2）可知△CPN∽△HPC，由相似三角形的性質(zhì)可得，可求AH，AG的長，即可求tan∠AHG的值．

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形

∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD，AD∥BC，CD∥AB

∴∠G＝∠DCG，∠H＝∠BCH

∵∠ECF＝∠BCD

∴∠ACD＝∠ACB＝∠ECF

∴∠DCG＝∠ACH，∠BCE＝∠ACG，

∴∠G＝∠ACH，∠H＝∠ACG

∴△ACG∽△AHC

∴

∴AC2＝AHAG

（2）連接AC

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD＝45°，AD∥BC，CD∥AB

∴∠G＝∠DCG，∠H＝∠BCH

∵∠ECF＝45°＝∠BCD

∴∠ACD＝∠ACB＝∠ECF

∴∠DCG＝∠ACH，∠BCE＝∠ACG，

∴∠G＝∠ACH，∠H＝∠ACG

∴△ACG∽△AHC

∴

∴AC2＝AHAG

∵BC＝AB＝4

∴AC＝4

∴y＝

∵BC∥AD

∴△EAH∽△EBC

∴

∴

∴AH＝

∴y＝

（3）如圖，取BC中點M，過點M作MN∥BG，交AD于點P，交CG于點N，連接CP，

∵MN∥BG，

∴，且M是BC中點

∴

∴BC＝2CM，CG＝2CN，BG＝2MN

∵CG＝CH

∴CG＝CH＝2CN

∵CD∥BA，MN∥BG

∴CD∥MN∥BG

∴

∴DP＝PA

∵AB：AD＝1：2，

∴設(shè)AB＝a＝CD，AD＝2a＝BC，

∴CM＝a＝DP，且BC∥AD

∴四邊形CDPM是平行四邊形，且CD＝DP＝a，∠D＝90°

∴四邊形CDPM是正方形，

∴CP＝a

∵四邊形CDPM是正方形，且∠GCH＝90°，由（2）可得：△CPN∽△HPC

∴

∴

∴MN＝a+a，AH＝PN﹣PA＝a﹣a

∴BG＝2MN＝2a+a，

∴AG＝BG﹣AB＝a+a，

∴.