Question

已知：拋物線l₁：y=﹣x²+bx+3交x軸于點(diǎn)A，B，（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸為x=1，拋物線l₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E（5，0），交y軸于點(diǎn)D（0，﹣）．

（1）求拋物線l₂的函數(shù)表達(dá)式；

（2）P為直線x=1上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PC，當(dāng)PA=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）M為拋物線l₂上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線MN∥y軸，交拋物線l₁于點(diǎn)N，求點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過(guò)程中，線段MN長(zhǎng)度的最大值．

 

Answer 1

解：（1）∵拋物線l₁：y=﹣x²+bx+3的對(duì)稱軸為x=1，

∴﹣=1，解得b=2，

∴拋物線l₁的解析式為y=﹣x²+2x+3，

令y=0，可得﹣x²+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），

∵拋物線l₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、E兩點(diǎn)，

∴可設(shè)拋物線l₂解析式為y=a（x+1）（x﹣5），

又∵拋物線l₂交y軸于點(diǎn)D（0，﹣），

∴﹣=﹣5a，解得a=，

∴y=（x+1）（x﹣5）=x²﹣2x﹣，

∴拋物線l₂的函數(shù)表達(dá)式為y=x²﹣2x﹣；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，y），由（1）可得C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），

∴PC²=1²+（y﹣3）²=y²﹣6y+10，PA²=[1﹣（﹣1）]²+y²=y²+4，

∵PC=PA，

∴y²﹣6y+10=y²+4，解得y=1，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）；

（3）由題意可設(shè)M（x，x²﹣2x﹣），

∵M(jìn)N∥y軸，

∴N（x，﹣x²+2x+3），x²﹣2x﹣

令﹣x²+2x+3=x²﹣2x﹣，可解得x=﹣1或x=，

①當(dāng)﹣1＜x≤時(shí)，MN=（﹣x²+2x+3）﹣（x²﹣2x﹣）=﹣x²+4x+=﹣（x﹣）²+，

顯然﹣1＜≤，∴當(dāng)x=時(shí)，MN有最大值；

②當(dāng)＜x≤5時(shí)，MN=（x²﹣2x﹣）﹣（﹣x²+2x+3）=x²﹣4x﹣=（x﹣）²﹣，

顯然當(dāng)x＞時(shí)，MN隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=5時(shí)，MN有最大值，×（5﹣）²﹣=12；

綜上可知在點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過(guò)程中，線段MN長(zhǎng)度的最大值為12．