Question

如圖，直線AB過點(diǎn)A（m，0）、B（0，n）（其中m＞0，n＞0）．反比例函數(shù)（p＞0）的圖象與直線AB交于C、D兩點(diǎn)，連接OC、OD．
（1）已知m+n=10，△AOB的面積為S，問：當(dāng)n何值時，S取最大值？并求這個最大值；
（2）若m=8，n=6，當(dāng)△AOC、△COD、△DOB的面積都相等時，求p的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，得：OA=m，OB=n，又由m+n=10，得m=10-n，進(jìn)而可得S關(guān)于m、n的關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得答案；
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意，可得關(guān)于k、b的關(guān)系式，過點(diǎn)D、C分別作x軸的垂線，垂足分別點(diǎn)E、F，由△AOC、△COD、△DOB的面積都相等，可得關(guān)系式，解可得答案．
解答：解：（1）根據(jù)題意，得：OA=m，OB=n，
所以S=mn，（1分）
又由m+n=10，得m=10-n，
得：S=n（10-n）=-n²+5n（2分）
=-（n-5）²+（3分）
∵-，∴當(dāng)n=5時，S取最大值（4分）

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
因?yàn)橹本�AB過點(diǎn)A（8，0），B（0，6）
所以，
解得：，b=6，
所以直線AB的函數(shù)關(guān)系式為（6分）
過點(diǎn)D、C分別作x軸的垂線，垂足分別點(diǎn)E、F，
當(dāng)△AOC、△COD、△DOB的面積都相等時，
有S_△AOC=S_△AOB，即OA×CF=×OA×OB，
所以CF=2（8分）
即C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2
將y=2代入，得（9分）
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為
因?yàn)辄c(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上
所以（10分）
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)以及其與直線的關(guān)系，利用形數(shù)結(jié)合解決此類問題，是非常有效的方法．