【題目】如圖,在ABC中,∠ABC=90°,以AB的中點(diǎn)O為圓心,OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)DEBC的中點(diǎn),連接DE,OE

(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;

(2)求證:BC2=2CDOE;

(3)若,求OE的長.

【答案】1DE⊙O的切線,理由見解析

2)證明見解析

3OE=

【解析】試題分析:(1)連接ODBD,由直徑所對的圓周角是直角得到∠ADB為直角,可得出△BCD為直角三角形,E為斜邊BC的中點(diǎn),由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,得到CE=DE,從而得∠C=∠CDE,再由OA=OD,得∠A=∠ADO,由Rt△ABC中兩銳角互余,從而可得∠ADO∠CDE互余,可得出∠ODE為直角,即DE垂直于半徑OD,可得出DE⊙O的切線;

2)由已知可得OE△ABC的中位線,從而有AC=2OE,再由∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,可得△ABC∽△BDC,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等,即可證得;

3)在直角△ABC中,利用勾股定理求得AC的長,根據(jù)三角形中位線定理OE的長即可求得.

試題解析:(1DE⊙O的切線,理由如下:

連接ODBD,

∵AB⊙O的直徑,

∴∠ADB=90°,

Rt△BDC中,E為斜邊BC的中點(diǎn),

∴CE=DE=BE=BC

∴∠C=∠CDE,

∵OA=OD,

∴∠A=∠ADO,

∵∠ABC=90°,

∴∠C+∠A=90°,

∴∠ADO+∠CDE=90°

∴∠ODE=90°,

∴DE⊥OD,又OD為圓的半徑,

∴DE⊙O的切線;

2∵EBC的中點(diǎn),O點(diǎn)是AB的中點(diǎn),

∴OE△ABC的中位線,

∴AC=2OE

∵∠C=∠C,∠ABC=∠BDC

∴△ABC∽△BDC,

,即BC2=ACCD

∴BC2=2CDOE;

3)解:∵cos∠BAD=,

∴sin∠BAC=,

∵BE=,EBC的中點(diǎn),即BC=,

∴AC=

∵AC=2OE,

∴OE=AC=

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