Question

【題目】如圖，PQ∥MN，A、B分別為直線(xiàn)MN、PQ上兩點(diǎn)，且∠BAN＝45°，若射線(xiàn)AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線(xiàn)BQ繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn)，兩射線(xiàn)分別繞點(diǎn)A、點(diǎn)B不停地旋轉(zhuǎn)，若射線(xiàn)AM轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒，射線(xiàn)BQ轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b°/秒，且a、b滿(mǎn)足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：鐘表指針走動(dòng)的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍?/span>

（1）a＝　 　，b＝　 　；

（2）若射線(xiàn)AM、射線(xiàn)BQ同時(shí)旋轉(zhuǎn)，問(wèn)至少旋轉(zhuǎn)多少秒時(shí)，射線(xiàn)AM、射線(xiàn)BQ互相垂直．

（3）若射線(xiàn)AM繞點(diǎn)A順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)18秒，射線(xiàn)BQ才開(kāi)始繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在射線(xiàn)BQ到達(dá)BA之前，問(wèn)射線(xiàn)AM再轉(zhuǎn)動(dòng)多少秒時(shí)，射線(xiàn)AM、射線(xiàn)BQ互相平行？

Answer 1

【答案】（1）a＝5，b＝1；（2）t＝15（s）；（3）15，22.5.

【解析】

（1）依據(jù)|a﹣5|+（b﹣1）2＝0，即可得到a，b的值；

（2）依據(jù)∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABQ+∠BAM＝180°，即可得到射線(xiàn)AM、射線(xiàn)BQ第一次互相垂直的時(shí)間；

（3）分兩種情況討論，依據(jù)∠ABQ'＝∠BAM“時(shí)，BQ'∥AM“，列出方程即可得到射線(xiàn)AM、射線(xiàn)BQ互相平行時(shí)的時(shí)間．

解：（1）|a﹣5|+（b﹣1）2＝0，

∴a﹣5＝0，b﹣1＝0，

∴a＝5，b＝1，

故答案為：5，1；

（2）設(shè)至少旋轉(zhuǎn)t秒時(shí)，射線(xiàn)AM、射線(xiàn)BQ互相垂直．

如圖，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的射線(xiàn)AM、射線(xiàn)BQ交于點(diǎn)O，則BO⊥AO，

∴∠ABO+∠BAO＝90°，

∵PQ∥MN，

∴∠ABQ+∠BAM＝180°，

∴∠OBQ+∠OAM＝90°，

又∵∠OBQ＝t°，∠OAM＝5t°，

∴t°+5t°＝90°，

∴t＝15（s）；

（3）設(shè)射線(xiàn)AM再轉(zhuǎn)動(dòng)t秒時(shí)，射線(xiàn)AM、射線(xiàn)BQ互相平行．

如圖，射線(xiàn)AM繞點(diǎn)A順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)18秒后，AM轉(zhuǎn)動(dòng)至AM'的位置，∠MAM'＝18×5＝90°，

分兩種情況：

①當(dāng)9＜t＜18時(shí)，∠QBQ'＝t°，∠M'AM“＝5t°，

∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，

∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM“＝5t﹣45°，

當(dāng)∠ABQ'＝∠BAM“時(shí)，BQ'∥AM“，

此時(shí)，45°﹣t°＝5t﹣45°，

解得t＝15；

②當(dāng)18＜t＜27時(shí)，∠QBQ'＝t°，∠NAM“＝5t°﹣90°，

∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，

∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM“＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，

當(dāng)∠ABQ'＝∠BAM“時(shí)，BQ'∥AM“，

此時(shí)，45°﹣t°＝135°﹣5t，

解得t＝22.5；