Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，點D在CO的延長線上，連接BD，已知BC=BD，AB=4，BC=2．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）求CD的長．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）由AB為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB為直角，進而得到三角形ABC為直角三角形，利用銳角三角函數定義求出sinA的值，利用特殊角的三角函數值求出∠A的度數為60度，再由OA=OC，得到三角形AOC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到兩個角為60度，進而求出∠BCD為30度，利用三角形內角和定理求出∠OBD為直角，即OB垂直于BD，即可得 證；

（2）由AB為直徑，求出半徑為2，由BC=BD，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OC=OB得到一對角相等，等量代換得到∠D=∠OBC，再由一對公共角相等，得到三角形OCB與三角形BCD相似由相似得比例，即可求出CD的長．

試題解析：（1）∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∵sinA=，∴∠A=60°，∵AO=CO，∴△AOC為等邊三角形，∴∠AOC=∠ACO=60°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACO=90°﹣60°=30°，∵∠BOD=∠AOC=60°，∴∠OBD=180°﹣（∠BOD+∠D）=90°，∴OB ⊥BD，則BD為圓O的切線；

（2）∵AB為圓O的直徑，且AB=4，∴OB=OC=2，∵BC=BD，∴∠BCD=∠D，∵OC=OB，∴∠BCD=∠OBC，∴∠D=∠OBC，在△BCD和△OCB中，∠D=∠OBC，∠BCD=∠OCB，∴△BCD∽△OCB，∴，即，則CD=6．