Question

定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與P₂（x₂，y₂）的“非常距離”，給出如下定義：若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|x₁-x₂|；若|x₁-x₂|＜|y₁-y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|y₁-y₂|．
（1）已知點(diǎn)A（-

1

2

，0），B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，寫出 一個(gè)滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)

 

；
（2）已知C是直線y=

3

x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），當(dāng)CD與直線y=

3

x+3垂直時(shí)，求C與D的“非常距離”．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t），由于|-

1

2

-0|=

1

2

，根據(jù)新定義得到|0-t|=2，解得t=±2，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）或（0，-2）；
（2）直線y=

3

x+3與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，作CE⊥y軸于E，先確定A點(diǎn)坐標(biāo)（-

3

，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（0，3），利用正切的定義求得∠ABO=30°，
由于D（0，1），則BD=2，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CD=

1

2

BD=1，BC=

3

CD=

3

，在Rt△BCE中，計(jì)算出CE=

1

2

BC=

3

2

，BE=

3

CE=

3

2

，所以O(shè)E=BO-BE=

3

2

，于是得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

2

，

3

2

），然后計(jì)算|-

3

2

-0|=

3

2

，|

3

2

-1|=

1

2

，然后根據(jù)新定義即可得到C與D的“非常距離”為

3

2

．

解答：解：（1）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t），
∵|-

1

2

-0|=

1

2

，
而點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，
∴|0-t|=2，解得t=±2，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）或（0，-2）；
故答案為（0，2）；

（2）直線y=

3

x+3與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，作CE⊥y軸于E，如圖，
把y=0代入y=

3

x+3得

3

x+3=0，解得x=-

3

；把x=0代入y=

3

x+3得y=0，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
∴tan∠ABO=

OA

OB

=

3

3

，
∴∠ABO=30°，
∵D（0，1），
∴BD=2，
∵DC⊥AB，
∴CD=

1

2

BD=1，BC=

3

CD=

3

，
在Rt△BCE中，CE=

1

2

BC=

3

2

，BE=

3

CE=

3

2

，
∴OE=BO-BE=3-

3

2

=

3

2

，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

2

，

3

2

），
∵|-

3

2

-0|=

3

2

，|

3

2

-1|=

1

2

，
∴C與D的“非常距離”為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題：會(huì)計(jì)算一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；會(huì)運(yùn)用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算；提高對(duì)新定義的理解能力．