Question

【題目】如圖，CD為⊙O的直徑，點B在⊙O上，連接BC、BD，過點B的切線AE與CD的延長線交于點A，∠AEO=∠C，OE交BC于點F．

（1）求證：OE∥BD；
（2）當⊙O的半徑為5，sin∠DBA= 時，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OB，

∵CD為⊙O的直徑，

∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，

∵AE是⊙O的切線，

∴∠ABO=∠OBD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠CBO，

∵OB、OC是⊙O的半徑，

∴OB=OC．

∴∠C=∠CBO，

∴∠C=∠ABD，

∵∠E=∠C，

∴∠E=∠ABD，

∴OE∥BD

（2）解：由（1）可得sin∠C=∠DBA= ，

在Rt△OBE中，sin∠C= ，OC=5

∴BD=4，

∵∠CBD=∠EBO=90°，∠E=∠C，

∴△CBD∽△EBO．

∴ = ，

∴EO= ，

∵OE∥BD，CO=OD，

OF= BD=2，

∴CF=FB．

EF=OE﹣OF=

【解析】（1） 連接OB，由直徑所對的圓周角是直角得出∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，又由切線的性質(zhì)定理得出∠ABO=∠OBD+∠ABD=90°，進而得出∠ABD=∠CBO，由同圓的半徑相等得出∠C=∠CBO，進而得出∠C=∠ABD，∠E=∠ABD，由平行線的判斷定理得出結(jié)論；（2）由（1）可得sin∠C=∠DBA在在Rt△OBE中根據(jù)sin∠C得出BD的長度，進而判斷出△CBD∽△EBO．由相似三角形的性質(zhì)得出OE的長度，最后由中位線的判斷得出CF=FB．進而得出結(jié)論。
【考點精析】本題主要考查了平行線的判定和圓周角定理的相關(guān)知識點，需要掌握同位角相等，兩直線平行;內(nèi)錯角相等，兩直線平行;同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．