Question

已知：如圖，二次函數(shù)y=x²+（2k-1）x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）在這條拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸右邊的圖象上有一點(diǎn)B，使銳角△AOB的面積等于3．求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)B，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使∠POB=90°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△POB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)中即可求出k的值，也就得出了拋物線(xiàn)的解析式．
（2）根據(jù)（1）得出的拋物線(xiàn)的解析式可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，也就求出了OA的長(zhǎng)，根據(jù)三角形OAB的面積可求出B點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，由于三角形AOB是銳角三角形那么B點(diǎn)必在x軸下方，根據(jù)這個(gè)條件可將不合題意的B點(diǎn)縱坐標(biāo)舍去，然后將符合題意的B點(diǎn)縱坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)B點(diǎn)在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的右邊來(lái)判斷得出的B點(diǎn)是否符合要求即可．
（3）根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線(xiàn)OB的解析式，由于OB⊥OP，因此兩直線(xiàn)的斜率的積為-1，由此可求出直線(xiàn)OP的解析式，聯(lián)立直線(xiàn)OP和拋物線(xiàn)的解析式，可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
求三角形POB的面積時(shí)，如果設(shè)直線(xiàn)BP與x軸的角度為Q的話(huà)，三角形POB的面積可分成三角形OBQ和三角形OPQ兩部分來(lái)求．可先求出直線(xiàn)BP的解析式即可的直線(xiàn)BP與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，然后按上面分析的三角形BOP的面積計(jì)算方法進(jìn)行求解即可．

解答：解：（1）∵y=x²+（2k-1）x+k+1過(guò)（0，0），
∴k+1=0，k=-1，
y=x²-3x．

（2）設(shè)B（x₀，y₀），
∵y=x²-3x的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=

3

2

∴x₀＞

3

2

，y₀＜0，
易知：A（3，0），即OA=3，
又∵

1

2

×OA•|y₀|=3
∴y₀=±2
當(dāng)y₀=-2時(shí)，-2=x₀²-3x₀，
解得，x₀=2，x₀=1（舍去）；
∴B（2，-2）；

（3）當(dāng)B（2，-2）時(shí)，直線(xiàn)OB的解析式為y=-x，
∵B0⊥PO，
∴直線(xiàn)0P的解析式為y=x，
∵兩函數(shù)相交
∴P₁（0，0）舍去，P₂（4，4）；
由勾股定理算出OB=2

2

，OP=4

2

，
S_△OPB=

1

2

×2

2

×4

2

=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)、圖象面積求法等知識(shí)．