Question

已知，如圖，二次函數(shù)y=ax²+2ax-3a（a≠0）圖象的頂點(diǎn)為H，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（B在A點(diǎn)右側(cè)），點(diǎn)H、B關(guān)于直線(xiàn)l：y=

3

3

x+

3

對(duì)稱(chēng)．
（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，并證明點(diǎn)A在直線(xiàn)l上；
（2）求二次函數(shù)解析式；
（3）過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BK∥AH交直線(xiàn)l于K點(diǎn)，M、N分別為直線(xiàn)AH和直線(xiàn)l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出方程ax²+2ax-3a=0（a≠0），即可得到A點(diǎn)坐標(biāo)和B點(diǎn)坐標(biāo)；把A的坐標(biāo)代入直線(xiàn)l即可判斷A是否在直線(xiàn)上；
（2）根據(jù)點(diǎn)H、B關(guān)于過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn)l：y=

3

3

x+

3

對(duì)稱(chēng)，得出AH=AB=4，過(guò)頂點(diǎn)H作HC⊥AB交AB于C點(diǎn)，求出AC和HC的長(zhǎng)，得出頂點(diǎn)H的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式，求出a，即可得到二次函數(shù)解析式；
（3）解方程組

y= 3 3 x+ 3 y= 3 x- 3

，即可求出K的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)H、B關(guān)于直線(xiàn)AK對(duì)稱(chēng)，得出HN+MN的最小值是MB，過(guò)點(diǎn)K作直線(xiàn)AH的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接QK，交直線(xiàn)AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長(zhǎng)是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．

解答：解：（1）依題意，得ax²+2ax-3a=0（a≠0），
兩邊都除以a得：
即x²+2x-3=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
答：A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-3，0），（1，0）．

證明：∵直線(xiàn)l：y=

3

3

x+

3

，
當(dāng)x=-3時(shí)，y=

3

3

×(-3)+

3

=0，
∴點(diǎn)A在直線(xiàn)l上．

（2）∵點(diǎn)H、B關(guān)于過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn)l：y=

3

3

x+

3

對(duì)稱(chēng)，
∴AH=AB=4，
過(guò)頂點(diǎn)H作HC⊥AB交AB于C點(diǎn)，
則AC=

1

2

AB=2，HC=2

3

，
∴頂點(diǎn)H(-1，2

3

)，
代入二次函數(shù)解析式，解得a=-

3

2

，
∴二次函數(shù)解析式為y=-

3

2

x2-

3

x+

3 3

2

，
答：二次函數(shù)解析式為y=-

3

2

x2-

3

x+

3 3

2

．

（3）直線(xiàn)AH的解析式為y=

3

x+3

3

，
直線(xiàn)BK的解析式為y=

3

x-

3

，
由

y= 3 3 x+ 3 y= 3 x- 3

，
解得

x=3 y=2 3

，
即K(3，2

3

)，
則BK=4，
∵點(diǎn)H、B關(guān)于直線(xiàn)AK對(duì)稱(chēng)，K（3，2

3

），
∴HN+MN的最小值是MB，
過(guò)K作KD⊥x軸于D，作點(diǎn)K關(guān)于直線(xiàn)AH的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接QK，交直線(xiàn)AH于E，
則QM=MK，QE=EK=2

3

，AE⊥QK，
∴根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長(zhǎng)是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB=

BK2+QK2

=

42+(2 3 +2 3 )2

=8，
∴HN+NM+MK的最小值為8，
答：HN+NM+MK和的最小值是8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)勾股定理，解二元一次方程組，二次函數(shù)與一元二次方程，二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度．