Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，

3

），點(diǎn)B的坐標(biāo)（-2，0），點(diǎn)O為原點(diǎn)．
（1）求過點(diǎn)A，O，B的拋物線解析式；
（2）在x軸上找一點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）將原點(diǎn)O繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)120°后得點(diǎn)O′，判斷點(diǎn)O′是否在拋物線上，請說明理由；
（4）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)E，線段OE把△AOB分成兩個三角形，使其中一個三角形面積與四邊形BPOE面積比為2：3，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，O，B，運(yùn)用待定系數(shù)法就可以直接求出拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)A作x軸的垂線與x軸的交點(diǎn)是C，作CA⊥AB于A，交x軸于點(diǎn)C，這就是滿足條件的C，利用解直接三角形就可以求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，求出O′的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式就可以判斷該點(diǎn)是否在拋物線上；
（4）由A、B的坐標(biāo)可以求出直線AB的解析式，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，就可以表示出E的坐標(biāo)，利用面積之比建立等量關(guān)系根據(jù)兩種不同的情況就可以求出P的解析式．

解答：解：（1）設(shè)y=ax²+bx+c，根據(jù)題意得

4a-2b+c=0 a+b+c= 3 c=0

，
解得

a= 3 3 b= 2 3 3 c=0

，
所以y=

3

3

x²+

2

3

3

x．

（2）C（1，0）或C（2，0）

（3）由題意得O′（-3，

3

），將O′（-3，

3

）代入y=

3

3

x²+

2

3

3

x，左邊=右邊
∴點(diǎn)O′在函數(shù)圖象上．

（4）點(diǎn)P坐標(biāo)為（-

1

2

，-

3

4

）．
∵A的坐標(biāo)為（1，

3

），點(diǎn)B的坐標(biāo)（-2，0），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則有

3 =k+b 0=-2k+b

解得：

k= 3 3 b= 2 3 3

，
∴直線AB的解析式為：y=

3

3

x+

2

3

3

假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，它的橫坐標(biāo)為h，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（h，

3

3

h²+

2

3

3

h），
點(diǎn)E坐標(biāo)為（h，

3

3

h+

2

3

3

），分兩種情況：
①△OBE的面積：四邊形BPOE面積=2：3，
則[

1

2

×2×（

3

3

h+

2

3

3

）]：[

1

2

×2×（

3

3

h+

2

3

3

）+

1

2

×2×（-

3

3

h²-

2

3

3

h）]=2：3，
解得h=-

1

2

，此時點(diǎn)P坐標(biāo)為（-

1

2

，-

3

4

）；
②△AOE的面積：四邊形BPOE面積=2：3，
則[

3

-

1

2

×2×（

3

3

h+

2

3

3

）]：[

1

2

×2×（

3

3

h+

2

3

3

）+

1

2

×2×（-

3

3

h²-

2

3

3

h）]=2：3，
解得：h=-

1

2

，或h=-2（不合題意，舍去），
此時點(diǎn)P坐標(biāo)為（-

1

2

，-

3

4

）．
綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為（-

1

2

，-

3

4

）．

點(diǎn)評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，勾股定理的逆定理的運(yùn)用．