Question

如圖，AC為⊙O的直徑，AC=4，B、D分別在AC兩側(cè)的圓上，∠BAD=60°，BD與AC的交點(diǎn)為E．
（1）求點(diǎn)O到BD的距離及∠OBD的度數(shù)；
（2）若DE=2BE，求cos∠OED的值和CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）作OF⊥BD于點(diǎn)F，連接OD，根據(jù)圓周角定理可得出∠DOB=120°，再由OB=OD=AC=2，可得出∠OBD的度數(shù)，也可得出OF的長度；
（2）設(shè)BE=2x，則可表示出DF、EF的長度，從而可解出x的值，在RT△OEF中，利用三角函數(shù)值的知識可求出∠OED的度數(shù)，也可得出cos∠OED的值，判斷出DO⊥AC，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得出CD的長度．
解答：解：（1）作OF⊥BD于點(diǎn)F，連接OD，
∵∠BAD=60°，
∴∠BOD=2∠BAD=120°，
又∵OB=OD，
∴∠OBD=30°，
∵AC為⊙O的直徑，AC=4，
∴OB=OD=2．
在Rt△BOF中，∵∠OFB=90°，OB=2，∠OBF=30°，
∴OF=OB•sin∠OBF=2sin30°=1，
即點(diǎn)O到BD的距離等于1．

（2）∵OB=OD，OF⊥BD于點(diǎn)F，
∴BF=DF．
由DE=2BE，設(shè)BE=2x，則DE=4x，BD=6x，EF=x，BF=3x．
∵BF=OB•cos30°=，
∴，EF=，
在Rt△OEF中，∠OFE=90°，∵tan∠OED==，
∴∠OED=60°，cos∠OED=，
∴∠BOE=∠OED-∠OBD=30°，
∴∠DOC=∠DOB-∠BOE=90°，
∴∠C=45°．
∴CD=OC=2．
點(diǎn)評：此題屬于圓的綜合題，涉及了等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)值及勾股定理的知識，解答此類綜合性題目，要求我們熟練掌握一些小知識點(diǎn)，做到將所學(xué)的知識融會貫通，難度較大．