【題目】拋物線直線一個交點另一個交點在軸上,點是線段上異于的一個動點,過點作軸的垂線,交拋物線于點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)是否存在這樣的點,使線段長度最大?若存在,求出最大值及此時點的坐標(biāo),若不存在,說明理由;
(3)求當(dāng)為直角三角形時點P的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)當(dāng)時,長度的最大值為,此時點的坐標(biāo)為;(3)為直角三角形時點的坐標(biāo)為或.
【解析】
(1)根據(jù)已知條件先求得,,將、坐標(biāo)代入,再求得、,最后將其代入即可得解;
(2)假設(shè)存在符合條件的點,并設(shè)點的橫坐標(biāo),然后根據(jù)已知條件用含的式子表示出、的坐標(biāo),再利用坐標(biāo)平面內(nèi)距離公式求得、間的距離,將其進(jìn)行配方即可進(jìn)行判斷并求解;
(3)分、兩種情況進(jìn)行討論,求得相應(yīng)的符合要求的點坐標(biāo)即可.
解:(1)∵拋物線直線相交于、
∴當(dāng)時,;當(dāng)時,,則
∴,
∴把代入得
∴
∴
(2)假設(shè)存在符合條件的點,并設(shè)點的橫坐標(biāo)
則、
∴
∵
∴有最大值當(dāng)時,長度的最大值為,此時點的坐標(biāo)為
(3)①當(dāng)時
∵直線垂直于直線
∴可設(shè)直線的解析式為
∵直線過點
∴
∴
∴直線的解析式為
∴
∴或(不合題意,舍去)
∴此時點的坐標(biāo)為
∴當(dāng)時,
∴此時點的坐標(biāo)為;
②當(dāng)時
∴點的縱坐標(biāo)與點的縱坐標(biāo)相等即
∴
∴解得 (舍去)
∴當(dāng)時,
∴此時點的坐標(biāo)為.
∴綜上所述,符合條件的點存在,為直角三角形時點的坐標(biāo)為或.
故答案是:(1);(2)當(dāng)時,長度的最大值為,此時點的坐標(biāo)為;(3)為直角三角形時點的坐標(biāo)為或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說:“對一個數(shù)學(xué)問題,改變它的形式,變換它的結(jié)構(gòu),直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西,這是數(shù)學(xué)解題的一個重要原則.”
閱讀下列兩則材料,回答問題
材料一:平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算,如:a2±2ab+b2=(a±b)2,那么=|a±b|,那么如何將雙重二次根式(a>0,b>0,a±2>0)化簡呢?如能找到兩個數(shù)m,n(m>0,n>0),使得(2+()2=a即m+n=a,且使即mn=b,那么a±2=()2+()2±2=(2
∴==|,雙重二次根式得以化簡.
例如化簡:.∵3=1+2且2=1×2,∴3+2=()2+()2+2,
∴==1+.
材料二:在直角坐標(biāo)系xoy中,對于點P(x,y)和Q(x,y′)出如下定義:若y′=,則稱點Q為點P的“橫負(fù)縱變點”例如,點(3,2)的“橫負(fù)縱變點”為(3,2),點(﹣2,5)的“橫負(fù)縱變點”為(﹣2,﹣5)
問題:
(1)請直接寫出點(﹣3,﹣2)的“橫負(fù)縱變點”為 ;化簡= ;
(2)點M為一次函數(shù)y=﹣x+1圖象上的點,M′為點M的橫負(fù)縱變點,已知N(1,1),若M′N=,求點M的坐標(biāo);
(3)已知b為常數(shù)且1≤b≤2,點P在函數(shù)y=﹣x2+16(+)(﹣7≤x≤a)的圖象上,其“橫負(fù)縱變點”的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是﹣32<y′≤32,若a為偶數(shù),求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某校綜合實踐活動小組的同學(xué)欲測量公園內(nèi)一棵樹DE的高度,他們在這棵樹的正前方一座樓亭前的臺階上A點處測得樹頂端D的仰角為30°,朝著這棵樹的方向走到臺階下的點C處,測得樹頂端D的仰角為60°.已知A點的高度AB為3米,臺階AC的坡度為1:(即AB:BC=1:),且B、C、E三點在同一條直線上.請根據(jù)以上條件求出樹DE的高度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,∠BAC的角平分線AD交BC邊于D.
(1)以AB邊上一點O為圓心作⊙O,使它過A,D兩點(不寫作法,保留作圖痕跡),再判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若(1)中的⊙O與AB邊的另一個交點為E,AB=3,BD=3,求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積.(結(jié)果保留根號和)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表是二次函數(shù)的的部分對應(yīng)值:
··· | ··· | ||||||||
··· | ··· |
則對于該函數(shù)的性質(zhì)的判斷:
①該二次函數(shù)有最小值;
②不等式的解集是或
③方程的實數(shù)根分別位于和之間;
④當(dāng)時,函數(shù)值隨的增大而增大;
其中正確的是:
A.①②③B.②③C.①②D.①③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c的開口向上,與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的右側(cè)),點A的坐標(biāo)為(m,0),且AB=4.
(1)填空:點B的坐標(biāo)為 (用含m的代數(shù)式表示);
(2)把射線AB繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)135°與拋物線交于點P,△ABP的面積為8:
①求拋物線的解析式(用含m的代數(shù)式表示);
②當(dāng)0≤x≤1,拋物線上的點到x軸距離的最大值為時,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校九年級體自模擬測試后,隨機(jī)抽取了九年級部分學(xué)生體有測試成績進(jìn)行統(tǒng)計,得到相關(guān)的統(tǒng)計圖表如下:
成績/分 | 以下 | |||
成績等級 |
請根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)這次統(tǒng)計共抽取了 名學(xué)生的體育測試成績,補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖
(2)扇形的圓心角的度數(shù)是
(3)若該校九年級有名學(xué)生,請據(jù)此估計該校九年級此次體育測試成績在等級以上(含等級)的學(xué)生有多少人?
(4)根據(jù)測試中存在的問題,通過一段時間的針對性調(diào)練,若等級學(xué)生數(shù)可提高等級學(xué)生數(shù)可提高,請估計經(jīng)過訓(xùn)練后九年級體育測試成績在等級以上(含等級)的學(xué)生可達(dá)多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,菱形ABCD中,∠B=60°,動點P以每秒1個單位的速度自點A出發(fā)沿線段AB運(yùn)動到點B,同時動點Q以每秒2個單位的速度自點B出發(fā)沿折線B﹣C﹣D運(yùn)動到點D.圖2是點P、Q運(yùn)動時,△BPQ的面積S隨時間t變化關(guān)系圖象,則a的值是( 。
A.2B.2.5C.3D.2
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