Question

探究一:如圖1,已知正方形ABCD,E、F分別是BC、AB上的兩點(diǎn),且AE⊥DF．小明經(jīng)探究,發(fā)現(xiàn)AE＝DF．請你幫他寫出證明過程.

探究二:如圖2,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,E、G分別在邊BC、AD上,F、H分別在邊AB、CD上,且GE⊥FH．小明發(fā)現(xiàn),GE與FH并不相等,請你幫他求出的值.

探究三:小明思考這樣一個(gè)問題:如圖3,在正方形ABCD中,若E、G分別在邊BC、AD上,F、H分別在邊AB、CD上,且GE＝FH,試問:GE⊥FH是否成立？若一定成立,請給予證明;若不一定成立,請畫圖并作出說明．

Answer 1

（1）證明見解析;
（2）;
（3）不一定成立,圖形見解析．

試題分析:（1）證明AE=DF,只要證明三角形ABE和DAF全等即可．它們同有一個(gè)直角,且AB=AD,又因?yàn)椤螦EB=90°﹣∠BAE=∠AFD,這樣就構(gòu)成了全等三角形判定中的AAS,兩三角形就全等了;
（2）作GM⊥BC于M,FN⊥CD于N,再由GE⊥FH,可得△GME∽△FNH,根據(jù)相似性質(zhì)即可;
（3）不一定成立．
試題解析:（1）∵DF⊥AE,
∴∠AEB=90°﹣∠BAE=∠AFD,
又∵AB=AD,∠ABE=∠DAF=90°,
∴△ABE≌△DAF,
∴AE=DF;
（2）作GM⊥BC于M,FN⊥CD于N,

∵GE⊥FH
∴∠MGE=∠NFH,
∴△GME∽△FNH.
∴.
∵AB＝GM＝3,FN＝BC＝4,
∴;
（3）不一定成立,如圖:

當(dāng)GE＝FH時(shí),GE和FH位置不確定,只有GE＝FH=AD時(shí),GE⊥FH．
考點(diǎn):1.正方形的性質(zhì),2.三角形相似．