Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板ABC斜靠在兩坐標(biāo)軸上放在第二象限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0）．B點(diǎn)在拋物線的圖象上，過點(diǎn)B作軸，垂足為D，且B點(diǎn)橫坐標(biāo)為．

（1）求證：；
（2）求BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使 △ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）先根據(jù)同角的余角相等證得，又為等腰直角三角形，可得．即可證得結(jié)論；（2）；（3）

試題分析：（1）先根據(jù)同角的余角相等證得，又為等腰直角三角形，可得．即可證得結(jié)論；
（2）由C點(diǎn)坐標(biāo)可得BD=CO=1，即可得到B點(diǎn)坐標(biāo) 設(shè)所在直線的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得結(jié)果；
（3）先求得拋物線的對稱軸為直線．再分以為直角邊，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)；以為直角邊，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，兩種情況根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
（1）∵，，
∴．     
∵為等腰直角三角形，
∴．
在和中

∴（AAS）．
（2）∵C點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴BD=CO=1．
∵B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為． 
設(shè)所在直線的函數(shù)關(guān)系式為，
則有，解得
∴BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為．          
（3）存在．     
=，
∴對稱軸為直線． 
若以為直角邊，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，對稱軸上有一點(diǎn)，使．
∵ 
∴點(diǎn)為直線與對稱軸直線的交點(diǎn)．
由題意得，解得
∴．
若以為直角邊，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，對稱軸上有一點(diǎn)，使，
過點(diǎn)作，交對稱軸直線于點(diǎn)．

∵CD=OA，
∴A（0，2）．
易求得直線的解析式為，
由得，∴．
∴滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為．
點(diǎn)評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．