Question

9、設(shè)p是質(zhì)數(shù)，證明：滿足a²=pb²的正整數(shù)a，b不存在．

Answer 1

分析：由于本題從正面很難證明，故應(yīng)用反證法，假定存在正整數(shù)a，b，使得a²=pb²，再由整數(shù)的整除性性質(zhì)7可得出結(jié)論．

解答：解：證明：用反證法．假定存在正整數(shù)a，b，使得
a²=pb²，
令（a，b）=d，a=a₁d，b=b₁d，則（a₁，b₁）=1．所以a₁²d²=pb₁²d²，a₁²=pb₁²，
所以p|a₁²，
由于p是質(zhì)數(shù)，p|a₁，令a₁=pa₂，則a₂²，p²，所以pa₂²=b₁²，同理可得，p|b₁，即a₁、b₁都含有p這個因子，這與（a₁，b₁）=1矛盾，
故滿足a²=pb²的正整數(shù)a，b不存在．

點評：本題考查的是整數(shù)的整除性問題，即若c|ab，且（c，a）=1，則c|b．特別地，若p是質(zhì)數(shù)，且p|ab，則p|a或p|b．