Question

【題目】如圖①，四邊形是正方形，點是邊的中點， ，且交正方形的外角平分線于點請你認(rèn)真閱讀下面關(guān)于這個圖形的探究片段，完成所提出的問題.

（1）探究1：小強看到圖①后，很快發(fā)現(xiàn)這需要證明AE和EF所在的兩個三角形全等，但△ABE和△ECF顯然不全等（個直角三角形，一個鈍角三角形）考慮到點E是邊BC的中點，因此可以選取AB的中點M（如圖②），連接EM后嘗試著去證明就行了.隨即小強寫出了如下的證明過程：

證明：如圖②，取AB的中點M，連接EM.

∵

∴

又∵

∴

∵點E、M分別為正方形的邊BC和AB的中點，

∴

∴是等腰直角三角形，

∴

又∵是正方形外角的平分線，

∴，∴

∴

∴，

∴

（2）探究2：小強繼續(xù)探索，如圖③，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上的任意一點”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)AE=EF仍然成立小強進一步還想試試，如圖④，若把條件“點E是邊BC的中點”為“點E是邊BC延長線上的一點”，其余條件仍不變，那么結(jié)論AE=EF仍然成立請你選擇圖③或圖④中的一種情況寫出證明過程給小強看.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

在AB上截取AM=EC，連接ME，然后證明∠EAM=FEC，∠AME=∠ECF=135°，再利用“角邊角”證明△AEM和△EFC全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明；

（2）探究2：選擇圖③進行證明：

證明：如圖③在上截取，連接.

由（1）知∠EAM=∠FEC，
∵AM=EC，AB=BC，
∴BM=BE，
∴∠BME=45°，
∴∠AME=∠ECF=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
又∵∠EAM+∠AEB=90°，
∴∠EAM=∠FEC，

在△AEM和△EFC中，

∴△AEM≌△EFC（ASA），
∴AE=EF；