Question

如圖，已知⊙O的半徑為3，AB為弦，CD是直徑，AB⊥CD于點(diǎn)H，點(diǎn)P在DC的延長(zhǎng)線上，且∠PAH=∠POA，OH：HC=1：2．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）在

ACB

上任取一點(diǎn)E，連接PE并延長(zhǎng)與

ADB

交于點(diǎn)F，設(shè)EH=x，PF=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）利用垂線的定義及三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合切線的判定定理問題即可解決．
（2）連接OF，運(yùn)用射影定理及切割線定理證明△PEH∽△POF，問題即可解決．

解答：解：（1）∵AB⊥CD，且∠PAH=∠POA，
∴∠PAH+∠APO=∠POA+∠APH=90°，
∴∠OAP=90°，
故PA是⊙O的切線．
（2）如圖，連接OF；
∵OC=3，OH：HC=1；2，
∴OH=1；
∵∠PAO=90°，AH⊥PO，
∴OA²=OH•OP（身影定理），
∴3²=1×OP，OP=9；
∴PH=PO-OH=8；
∵OA⊥PA，AH⊥OP，且PA是⊙O的切線，
∴PA²=PH•PO（射影定理），PA²=PE•PF（切割線定理），
∴PH•PO=PE•PF，
∴

PH

PF

=

PE

PO

，而∠EPH=∠OPF，
∴△PEH∽△POF，
∴

PH

PF

=

EH

OF

，即

8

y

=

x

3

，
∴y=

24

x

，
即y與x的函數(shù)關(guān)系式y=

24

x

．

點(diǎn)評(píng)：本題以圓為載體，在考查射影定理、切割線定理的同時(shí)，還滲透了對(duì)相似三角形的判定及其性質(zhì)應(yīng)用的考查；對(duì)綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．