Question

如圖，⊙O的半徑為2，弦BC=2

3

，點A是優(yōu)弧BC上一動點（不包括端點），△ABC的高BD、CE相交于點F，連結ED．下列四個結論：
①∠A始終為60°；
②當∠ABC=45°時，AE=EF；
③當△ABC為銳角三角形時，ED=

3

；
④線段ED的垂直平分線必平分弦BC．
其中正確的結論是

 

．（把你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

考點：圓的綜合題,全等三角形的判定與性質,直角三角形斜邊上的中線,圓周角定理,相似三角形的判定與性質,特殊角的三角函數(shù)值

專題：推理填空題

分析：①延長CO交⊙O于點G，如圖1．在Rt△BGC中，運用三角函數(shù)就可解決問題；②只需證到△BEF≌△CEA即可；③易證△AEC∽△ADB，則

AE

AD

=

AC

AB

，從而可證到△AED∽△ACB，則有

ED

BC

=

AE

AC

．由∠A=60°可得到

AE

AC

=

1

2

，進而可得到ED=

3

；④取BC中點H，連接EH、DH，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EH=DH=

1

2

BC，所以線段ED的垂直平分線必平分弦BC．

解答：解：①延長CO交⊙O于點G，如圖1．
則有∠BGC=∠BAC．
∵CG為⊙O的直徑，∴∠CBG=90°．
∴sin∠BGC=

BC

CG

=

2 3

4

=

3

2

．
∴∠BGC=60°．
∴∠BAC=60°．
故①正確．
②如圖2，
∵∠ABC=45°，CE⊥AB，即∠BEC=90°，
∴∠ECB=45°=∠EBC．
∴EB=EC．
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BEC=∠BDC=90°．
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°．
∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF．
在△BEF和△CEA中，

∠FBE=∠ACE BE=CE ∠BEF=∠CEA=90°

．
∴△BEF≌△CEA．
∴AE=EF．
故②正確．
③如圖2，
∵∠AEC=∠ADB=90°，∠A=∠A，
∴△AEC∽△ADB．
∴

AE

AD

=

AC

AB

．
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB．
∴

ED

BC

=

AE

AC

．
∵cosA=

AE

AC

=cos60°=

1

2

，
∴

ED

BC

=

1

2

．
∴ED=

1

2

BC=

3

．
故③正確．
④取BC中點H，連接EH、DH，如圖3、圖4．
∵∠BEC=∠CDB=90°，點H為BC的中點，
∴EH=DH=

1

2

BC．
∴點H在線段DE的垂直平分線上，
即線段ED的垂直平分線平分弦BC．
故④正確．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查了圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上等知識，綜合性比較強，是一道好題．