Question

（2011•南寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）、B（0，-3），點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．
（1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式．
（2）若點(diǎn)P在第四象限，連接AM、BM，當(dāng)線段PM最長(zhǎng)時(shí)，求△ABM的面積．
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A（3，0）B（0，-3）分別代入y=x²+mx+n與y=kx+b，得到關(guān)于m、n的兩個(gè)方程組，解方程組即可；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t，t-3），則M（t，t²-2t-3），用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)得到PM的長(zhǎng)，即PM=（t-3）-（t²-2t-3）=-t²+3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到
當(dāng)t=-

3

2×(-1)

=

3

2

時(shí)，PM最長(zhǎng)為

0-9

4×(-1)

=

9

4

，再利用三角形的面積公式利用S_△ABM=S_△BPM+S_△APM計(jì)算即可；
（3）由PM∥OB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長(zhǎng)時(shí)只有

9

4

，所以不可能；當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（t²-2t-3）-（t-3）=3；當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t²-3t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值．

解答：解：（1）把A（3，0）B（0，-3）代入y=x²+mx+n，得

0=9+3m+n -3=n

解得

m=-2 n=-3

，
所以拋物線的解析式是y=x²-2x-3．
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，-3）代入y=kx+b，得

0=3k+b -3=b

，
解得

k=1 b=-3

，
所以直線AB的解析式是y=x-3；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t，t-3），則M（t，t²-2t-3），
因?yàn)閜在第四象限，
所以PM=（t-3）-（t²-2t-3）=-t²+3t，
當(dāng)t=-

3

2×(-1)

=

3

2

時(shí)，二次函數(shù)的最大值，即PM最長(zhǎng)值為

0-9

4×(-1)

=

9

4

，
則S_△ABM=S_△BPM+S_△APM=

1

2

×

9

4

×3=

27

8

．

（3）存在，理由如下：
∵PM∥OB，
∴當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
①當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長(zhǎng)時(shí)只有

9

4

，所以不可能有PM=3．
②當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（t²-2t-3）-（t-3）=3，解得t₁=

3+ 21

2

，t₂=

3- 21

2

（舍去），所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

3+ 21

2

；
③當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t²-3t=3，解得t₁=

3+ 21

2

（舍去），t₂=

3- 21

2

，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

3- 21

2

．
所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

3+ 21

2

或

3- 21

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：先利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，然后根據(jù)解析式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求線段的最大值．同時(shí)考查了平行四邊形的判定定理以及一元二次方程的解法．