Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l⊥y軸于點(diǎn)B（0，﹣2），A為OB的中點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的拋物線y=ax²+c與x軸交于C、D兩點(diǎn)，且CD=4，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑畫圓．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若⊙P與y軸的另一交點(diǎn)為E，且OE=2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）判斷直線l與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A為OB的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣1）．

∵CD=4，由拋物線的對(duì)稱性可知：點(diǎn)C（﹣2，0），D（2，0），

將點(diǎn)A（0，﹣1），C（﹣2，0），D（2，0）代入拋物線的解析式得：，

解得：，

∴拋物線得解析式為y=．

（2）如下圖：過點(diǎn)P₁作P₁F⊥OE．

∵OE=2，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2）．

∵P₁F⊥OE．

∴EF=OF．

∴點(diǎn)P₁的縱坐標(biāo)為1．

同理點(diǎn)P₂的縱坐標(biāo)為1．

將y=1代入拋物線的解析式得：x₁=，x₂=2．

∴點(diǎn)P₁（﹣2，1），P₂（﹣2，1）．

如下圖：

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P₃與點(diǎn)A重合，

∴點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（0，﹣1）．

綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，1）或（2，1）或（0，﹣1）．

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，），

∴圓的半徑OP==，

點(diǎn)P到直線l的距離=﹣（﹣2）=+1．

∴d=r．

∴直線l與圓P相切．