Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l⊥y軸于點B（0，﹣2），A為OB的中點，以A為頂點的拋物線y=ax²+c與x軸交于C、D兩點，且CD=4，點P為拋物線上的一個動點，以P為圓心，PO為半徑畫圓．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若⊙P與y軸的另一交點為E，且OE=2，求點P的坐標(biāo)；

（3）判斷直線l與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點A為OB的中點，

∴點A的坐標(biāo)為（0，﹣1）．

∵CD=4，由拋物線的對稱性可知：點C（﹣2，0），D（2，0），

將點A（0，﹣1），C（﹣2，0），D（2，0）代入拋物線的解析式得：，

解得：，

∴拋物線得解析式為y=．

（2）如下圖：過點P₁作P₁F⊥OE．

∵OE=2，

∴點E的坐標(biāo)為（0，2）．

∵P₁F⊥OE．

∴EF=OF．

∴點P₁的縱坐標(biāo)為1．

同理點P₂的縱坐標(biāo)為1．

將y=1代入拋物線的解析式得：x₁=，x₂=2．

∴點P₁（﹣2，1），P₂（﹣2，1）．

如下圖：

當(dāng)點E與點B重合時，點P₃與點A重合，

∴點P₃的坐標(biāo)為（0，﹣1）．

綜上所述點P的坐標(biāo)為（﹣2，1）或（2，1）或（0，﹣1）．

（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，），

∴圓的半徑OP==，

點P到直線l的距離=﹣（﹣2）=+1．

∴d=r．

∴直線l與圓P相切．